2004　鳥取大学　後期MathJax

2004-10661-0201

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工学部

易□　並□　難□

【１】　 $2$ 次方程式 $a x^{2} + b x$ $+ c = 0$ $（ a \neq 0 ）$ の解を $α ，$ $β$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $α^{2} + β^{2}$ $+ 3 α β (α + β)$ $+ 5 α β$ の値を， $a ，$ $b ，$ $c$ を用いて表せ．

(2)　解 $α ，$ $β$ がともに正の数となる条件を， $a ，$ $b ，$ $c$ を用いて表せ．

(3)　 $y = a x^{2}$ $+ b x + c$ のグラフの頂点が第 $1$ 象限にある条件を， $a ，$ $b ，$ $c$ を用いて表せ．

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【２】　複素数平面上に $3$ 点 $A (z_{1}) ，$ $B (z_{2}) ，$ $C (z_{3})$ がある． $z_{1} = 2 + i ，$ $z_{2} = 8 + 10 i ，$ $z_{3} = 4 - 2 i$ のとき，次の問いに答えよ．ただし， $i^{2} = - 1$ である．

(1)　点 $B^{'} ({z_{2}}^{'})$ が ${z_{2}}^{'} = z_{2} - z_{1}$ で表されるとき， ${z_{2}}^{'}$ の値を求めよ．

(2)　点 $C (z_{3})$ を原点のまわりに $45 °$ だけ回転した点を $C^{'} ({z_{3}}^{'})$ とするとき， ${z_{3}}^{'}$ の値を求めよ．

(3)　 ${z_{3}}^{″} = {z_{3}}^{'} + z_{1}$ で表される点を $C^{″} ({z_{3}}^{″})$ とするとき， $∠ C^{″} A B^{'}$ の大きさを求めよ．ただし， ${z_{3}}^{'}$ は(2)で求めた値とする．

《編注》　原文が不鮮明のため $z_{2} ，$ $z_{3}$ などに疑義がある．

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【３】　次の問いに答えよ．

(1)　 $\log_{4} 8 - \log_{8} 2$ の値を求めよ．

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【３】　次の問いに答えよ．

(2)　関数 $y = \log_{0.5} x$ について， $y$ の値が $- 4$ 以下となる $x$ の範囲を求めよ．

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【３】　次の問いに答えよ．

(3)　関数 $y = x \log_{e} x$ が表す曲線を $C$ とする．点 $(0, - 2)$ から曲線 $C$ に引いた接線の方程式を求めよ．

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【４】　 $a > 0$ とする．関数 $f (x) = x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{a}}$ について，次の問いに答えよ．

(1)　関数 $g (x) = e^{- x^{2}}$ について，導関数 $g^{'} (x)$ を求めよ．

(2)　 $x = b$ で $f (x)$ が極大値をとる．このとき， $b$ を $a$ で表せ．

(3)　不定積分 $\int f (x) dx$ を求めよ．

(4)　定積分 $\int_{a}^{b} f (x) dx$ を計算し， $a$ で表せ．ただし， $b$ は(2)で求めたものとする．

《編注》　原文が不鮮明のため添字に疑義がある．

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