2003　長崎大学　前期MathJax

【１】　定数$a\text{，}$$b$と関数$f(x)$が

${\displaystyle {\int }_2^x}f(t)\mathit{dt}=(x-a)(x^2+x+b)$

をみたすとする．次の問いに答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフが点$(-1,4)$を通るとき，方程式$f(x)=0$の解を求めなさい．

(2)　定数$a$が負のとき，$y=f(x)$のグラフは，$a$の値に関係なく定点を通ることを示し，その定点の座標を求めなさい．

【２】　放物線$C\text{：}y=x(x-a)$について，次の問いに答えなさい．ただし，$a>0$とする．

(1)　放物線$C$と直線$y=-x+a$とで囲まれる図形の面積を求めなさい．

(2)　$a=2$のとき，直線$y=kx$によって(1)の図形の面積が二等分されるように$k$の値を定めなさい．

(3)　放物線$C$と点$(0,1)$を通る直線とで囲まれる図形の面積が最小となるとき，直線の方程式およびその図形の面積を求めなさい．

【３】　関数$f(x)=x^x$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の最小値を求めなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線で原点を通るものは$1$本しかないことを示し，その接線の方程式を求めなさい．

【４】　右の図は，関数

$y={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$

のグラフの概形である．このグラフと$x$軸との交点の$x$座標を左から順に，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n\text{，}$$\cdots$とおく．$a_n\leqq x\leqq a_{n+1}$において，このグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_n$とすると，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{V}_n$は収束する．

　次の問いに答えなさい．

(1)　$a_n$の値を求め，$V_n$を${\displaystyle \frac{\sin 2x}{x}}$の定積分で表しなさい．

(2)　$V_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$となることを示しなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{V}_n\leqq 1$となることを示しなさい．

【５】　整式$f(x)=x^3+a{x}^2+3bx+3$において，定数$a\text{，}$$b$は整数とする．この整式が整数$n$を用いて$f(x)=(x-n)(x^2+px+q)$と因数分解されるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$p\text{，}$$q$が整数であることを示し，整数$n$の値を求めなさい．

(2)　$2$次方程式$x^2+px+q=0$が虚数解をもつように，$a\text{，}$$b\text{，}$$n\text{，}$$p\text{，}$$q$の値を定めなさい．

【６】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，

$\alpha \overrightarrow{\mathrm{PA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

$\alpha \geqq 0\text{，}$$\beta \geqq 0\text{，}$$\gamma \geqq 0\text{，}$$\alpha +\beta +\gamma =1$

の関係が成り立っている．次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$は$\mathrm{▵ABC}$の周または内部にあることを示しなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$が辺の長さ$1$の正三角形であるとき，その内心を$\mathrm{I}$として，${\left|\overrightarrow{\mathrm{IP}}\right|}^2$を$\beta \text{，}$$\gamma$で表しなさい．

(3)　(2)において，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{I}$を中心とする$\mathrm{▵ABC}$の内接円上にあるための必要十分条件は

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ={\displaystyle \frac{1}{4}}$

であることを示しなさい．

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