2003　鳥取大学　前期MathJax

2003-10661-0101

2003　鳥取大学　前期

工,農,医学部

易□　並□　難□

【１】　 $1$ から $9$ までの数字の中から，重複しないように $3$ つの数字を無作為に選ぶ．その中の最大の数字を $X$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $X = 3$ となる確率を求めよ．

(2)　 $X = 4$ となる確率を求めよ．

(3)　 $X = 5 ，$ $X = 6 ，$ $X = 7 ，$ $X = 8 ，$ $X = 9$ となる確率をそれぞれ求めよ．

(4)　期待値 $E (X)$ を求めよ．

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2003年鳥取大【２】の図

【２】(1)　右図は長軸の長さが $2 a ，$ 短軸の長さが $2 b$ の楕円である．この楕円の式を書け．ただし， $0 < b < a$ とする．

(2)　点 $P (x, y)$ が(1)で求めた楕円上にあるとき， $y$ を $x$ で表せ．

(3)　(2)で求めた式を利用して，楕円で囲まれる図形の面積 $S$ を定積分で表せ．

(4)　 $x = a \sin θ$ とする置換積分によって面積 $S$ の値を求めよ．

(5)　楕円と $x$ 軸で囲まれる部分を $x$ 軸の回りに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を定積分で表せ．

(6)　(5)で表した定積分により，体積 $V$ の値を求めよ．

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【３】　次の問いに答えよ．

(1)　放物線 $y = - x^{2}$ $+ 2 x + 4$ $\dots ①$ が $y$ 軸と交わるときの $y$ 座標を求めよ．

(2)　放物線 $①$ の頂点を求めよ．

(3)　放物線 $①$ と放物線 $y = x^{2}$ との交点の座標を求めよ．

(4)　連立不等式

${\begin{cases} y ≧ x^{2} \\ y ≦ - x^{2} + 2 x + 4 \end{cases}$

の表す領域 $D$ を図示せよ．

(5)　領域 $D$ の面積を求めよ．

(6)　点 $(x, y)$ が領域 $D$ 内を動くとき， $x + y$ の最大値と最小値を求めよ．

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工,農,医(生命科,保健学科)学部

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【４A】　次の問いに答えよ．

(1)　関数 $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ を $x$ について微分せよ．

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工,農,医(生命科,保健学科)学部

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【４A】　次の問いに答えよ．

(2)　 $\frac{1}{{(\sqrt{7} - \sqrt{5})}^{2}} + \frac{1}{{(\sqrt{7} + \sqrt{5})}^{2}}$ を簡単にせよ．

2003-10661-0106

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【４A】　次の問いに答えよ．

(3)　 $(2 \frac{1}{4} - (0.6 - 2.53)) \div {(- \frac{3}{4})}^{3}$ を計算し，結果を既約分数で示せ．

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工,農,医(生命科,保健学科)学部

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【４A】　次の問いに答えよ．

(4)　 $2 x^{3} - 5 x^{2}$ $+ 5 x + 4$ を整数係数の範囲で因数分解せよ．

2003-10661-0108

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工,農,医(生命科,保健学科)学部

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【４A】　次の問いに答えよ．

(5)　複素数 $1 + i$ を極形式で表せ．ただし， $i^{2} = - 1$ である．

2003-10661-0109

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【４A】　次の問いに答えよ．

(6)　行列 $A = (\begin{matrix} 1 & - 4 \\ - 2 & 9 \end{matrix})$ の逆行列 $A^{- 1}$ を求めよ．

2003-10661-0110

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工,農,医(生命科,保健学科)学部

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【４A】　次の問いに答えよ．

(7)　 $\sin θ = \frac{2}{3}$ のとき， $\cos θ ，$ $\tan θ$ の値を求めよ．

2003-10661-0111

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【４A】　次の問いに答えよ．

(8)　 $\log_{4} 8 + \log_{9} \sqrt{27}$ の値を求めよ．

2003-10661-0112

2003　鳥取大学　前期

医(医学科)学部

易□　並□　難□

2003年鳥取大【４A】の図

【４B】　右図のように $5$ 角形上に内側から順に点を並べる．内側から $n$ 番目の $5$ 角形の周上および内部にある点の個数を $a_{n}$ とおく．ただし， $n = 1$ の場合は $1$ 点とする．例えば， $a_{1} = 1 ，$ $a_{2} = 5 ，$ $a_{3} = 12 ，$ $a_{4} = 22$ である．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列 $a_{n}$ が満たす漸化式を求めよ．

(2)　この数列の第 $n$ 項 $a_{n}$ を求めよ．

(3)　 $a_{n} ≧ 2003$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ．

(4)　 $a_{n} = \frac{m (3 m + 1)}{2}$ となるような自然数 $n ，$ $m$ は存在しないことを示せ．