2003　福島大学　前期MathJax

【１】　空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(-4,6,2)\text{，}$$\mathrm{B}(4,2,4)\text{，}$$\mathrm{C}(2,-2,6)$がある．辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$および$\mathrm{OC}$の中点を，それぞれ，$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$および$\mathrm{N}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　四角形$\mathrm{KLMN}$が平行四辺形であることを示せ．

(2)　四角形$\mathrm{KLMN}$の面積を求めよ．

【２】　$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$のとき，${\log }_{10}{\sin }^2\theta +{\log }_{10}{\cos }^2\theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　次の複素数の数列を考える．

$\{\begin{array}{l}{z}_1=1\\ z_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+i)z_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{(}n=1\text{，}2\text{，}3\cdots \text{)}\end{array}$

ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　$z_{n+1}-\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+i)(z_n-\alpha )$なる定数$\alpha$を求めよ．

(2)　このとき，$z_{17}$を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^3}|t-x|\mathit{dt}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)\mathit{dx}$の値を求めよ．

【５】　点$\mathrm{P}$が$x$軸上を座標$x=100$から出発して動き，$t$秒後における$\mathrm{P}$の速度$u$は$u=3t^2-12t$である．また，点$\mathrm{Q}$は，$x$軸上を原点から出発して移動し，$\mathrm{Q}$の速度$v$は一定であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　時間$t$を横軸にとり，$t$秒後における$\mathrm{P}$の座標$x$を縦軸にとって$t$に関する$x$の変化を表すグラフを描け．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ時刻に同じ位置にあるためには，$v$は少なくともどれほどの速度でなければならないか．

【１】　${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}15$の値を求めよ．

(2)　${10}^k<{15}^{2003}<{10}^{k+1}$を満たす自然数$k$を求めよ．

【２】　$k$を定数とするとき，関数$y=4\cos x+k\cos 2x$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq x<360\mathrm{°}$とする．

【３】　長さ$l$の線分$\mathrm{PQ}$を線分上の点$\mathrm{R}$によって二つの部分に分け，$\mathrm{PR}$を直径とする球を$B_1$とし，$\mathrm{QR}$を直径とする球を$B_2$とする．$2$つの球$B_1$と$B_2$の体積の和を最小にする線分$\mathrm{PR}$の長さを$l$を用いて表せ．