2002　鳥取大学　前期MathJax

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{PQ}$が$\mathrm{▵ABC}$の面積を$2$等分するとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と最大値を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とおく．対角線$\mathrm{AG}$と平面$\mathrm{BDE}$との交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$は平面$\mathrm{BDE}$に直交することを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．また$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の大きさを求めよ．

(3)　線分$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{DE}\text{，}$$\mathrm{EB}$を$1:2$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とするとき，三角錐$\mathrm{A‐QRS}$の体積を求めよ．

$2(2n+3)a_{n+1}$$=(n+1)a_{n+2}$$+4(n+2)a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}-2a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　初項から第$n$項までの和$S_n=a_1$$+a_2$$+\cdots +a_n$を求めよ．

$3-\alpha ={\displaystyle \frac{7-\sqrt{5}}{2}}\text{，}$$\alpha -\beta =\sqrt{5}$

の関係が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　$\alpha \geqq x\geqq \beta$の範囲で，この曲線と$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．