2001　長崎大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3-6x^2+3kx$（$k$は定数）を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$が極大値，極小値をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$y=f(x)$の極大値と極小値の差が$4$となる$k$の値を求めよ．

(3)　(2)の場合について$y=f(x)$のグラフをかけ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=x^2$について，傾きが$\sqrt{3}$の接線$l$の方程式およびその接点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$y$軸上に中心をもち，$\mathrm{P}$において$l$に接する円の方程式を求めよ．

(3)　(1)の放物線と(2)の円の下の弧とによって囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　三角関数の加法定理を用いて$\cos A-\cos B$を積の形になおせ．

(2)　$\cos 3\theta <\cos 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}\text{）}$

(3)　$y=\cos 2\theta \text{，}$$y=\cos 3\theta$のグラフをかけ．ただし，$2$つのグラフの交点の$y$座標は求めなくてよい．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$と$x$軸および$2$直線$x=k\text{，}$$x=2k$（ただし$k>0\text{）}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を$V(k)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$V(k)$を求めよ．

(2)　$V(k)$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．

【５】　$xyz$空間に点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(1.1,1)$をとる．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を頂点とする四面体$T$について，次の問いに答えよ．

(1)　$z$軸上の点$(0,0,a)$を通り$z$軸に垂直な平面で$T$を切ったときの切り口の頂点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$の座標を，$a$を用いて表せ．ただし，$a$は$0<a<1$なる定数とし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$はそれぞれ線分$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{BC}$上にあるものとする．

(2)　(1)における切り口の面積$S(a)$と，その最大値，およびそのときの$a$の値を求めよ．

【６】　複素数$z=x+yi$$\text{（}x\text{，}$$y$は実数）について，次の問いに答えよ．

(1)　$z^4$が$0$でない実数であるとき，$z$の偏角$\alpha$を求めよ．$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \alpha <360\mathrm{°}\text{）}$

(2)　${(z-1)}^3$が純虚数であるとき，$z-1$の偏角$\beta$を求めよ．$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \beta <360\mathrm{°}\text{）}$

(3)　$x>0\text{，}$$y>0$で$z^4$が実数，${(z-1)}^3$が純虚数となるときの$z^4$をすべて求めよ．

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