1994　大阪大学　前期MathJax

【１】　どのような自然数$n$に対しても${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(a{k}^2+bk+1)$が常に$n$で割り切れるような整数$a\text{，}b$の組$(a,b)$は$0<a\leqq 6m$かつ$0<b\leqq 6m$（ただし$m$は自然数）の範囲に全体で何組あるか．その個数を$m$で表せ．

【２】　原点を通る傾き正の直線$l$を考える．いま点$\mathrm{P}$が原点から直線$l$に沿って第$1$象限を直進し，直線$l$と曲線$C$：$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}{x}^3$の交点$\mathrm{Q}(a,{\displaystyle \frac{a^3}{\sqrt{3}}})$で反射した後，再び直進する．ただし点$\mathrm{Q}$において，$C$の接線に対し，入射角と反射角は等しいとする．反射後の点$\mathrm{P}$の進行方向が$y$軸と平行になるとき，次の問に答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　直線$l$と曲線$C$が第$1$象限で囲む図形の面積を求めよ．

【３】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$と直線$y=1$で囲まれる図形を$R$とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$による$1$次変換を考え，$\overrightarrow{x_0}=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{16}}\\ 0\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{x_n}=a^n\overrightarrow{x_0}$とおく．$\overrightarrow{x_n}$が図形$R$に含まれる自然数$n$と，そのときの$\overrightarrow{x_n}$を求めよ．厳密には$R$とは${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq y\leqq 1$で定められる図形のことである．

【３】　$\alpha \text{，}\beta$を$0<\alpha <\beta <\pi$を満たす定数とし，$t$を変数とする．空間内の曲線$(x(t),y(t),z(t))$を

$x(t)=\sin (t+\alpha )\text{，}$

$y(t)=\sin (t+\beta )\text{，}$

$z(t)=\sin t$

で定める．ただし$t$は$0\leqq t<2\pi$の範囲で動くこととする．

(1)　この曲線は原点を通る平面に含まれることを示し，その平面の方程式を求めよ．

(2)　$\alpha =\theta \text{，}\beta =2\theta$とおき，$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で動かすとき，(1)で求めた平面と点$(-1,2,0)$との距離の最大値を求めよ．

【４】　各自然数$n$に対して曲線$y=e^{n\pi }-1$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,q_n)$とする．

(1)　$x\geqq 0$のとき不等式$e^{nx}-1\geqq nx$が成り立つことを証明せよ．

(2)　(1)の結果を用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=0$を証明せよ．

(3)　(2)の結果を用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }n{p}_n$を求めよ．

(4)　$4$点$(0,0)\text{，}(p_n,0)\text{，}(0,q_n)\text{，}(p_n,q_n)$を頂点とする長方形の面積を$S_n$で表し，また曲線$y=e^{nx}-1\text{，}x$軸，直線$x=p_n$で囲まれた図形の面積を$T_n$で表すことにする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}$を求めよ．

【５】　袋の中に白球が$1$個，赤球が$2$個はいっている．この状態から始めて，次のような試行をくりかえす．袋の中から無作為に球を$1$個取り出し，それが白球であれば袋の中に戻し，赤球であればそれを戻さずに代わりに白球を$2$個袋の中に入れる．$k$を$2$以上の自然数とする．ただし，$0<a<1$を満たす数$a$に対し$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}^n=0$であることは用いてよい．

(1)　ちょうど$k$回の試行の後に，袋の中の球の個数がはじめて$5$になる確率$p(k)$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=2}^n}kp(k)$を求めよ．