1994　東北大学　後期MathJax

【１】　$xyz$空間において，球面

$S:x^2-2ax+y^2+z^2+a^2-4=0$

と平面

$\alpha :x+2y+az-1=0$

を考える．$S$と$\alpha$が交わってできる円の面積が最小となるように実数$a$を定めよ．また，そのときの円の中心の座標を求めよ．

【２】　曲線

$C:y=-a{x}^3+(2a-1)x^2+2a-3\text{（}a\geqq 2\text{）}$

を考え，点$(1,3a-4)$における$C$の接線を$L$とする．$L$と曲線$y=x^2-2$とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V$とする．$V=10\pi a^2$となるときの$a$を求めよ．

【３】　実数$t$に対して，$xy$平面上の直線$l_t$を次のように定義する．

$l_t:y={\displaystyle \frac{1}{t^2+1}}(4tx+t^2-1)$

(ⅰ)　$t$が実数全体を動くとき，$l_t$の通りうる範囲を図示せよ．

(ⅱ)　$t$が$t\geqq 0$のすべてを動くとき，$l_t$の通りうる範囲を図示せよ．

【４】　数列$\{a_n\}$が次のように定義されている．

$a_1=2\text{，}$

$a_n=n+1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}(k+2)a_k\text{（}n\geqq 2\text{）}$

(ⅰ)　$a_n$を$a_{n-1}$で表せ．

(ⅱ)　$a_n$を求めよ．

【１】　$xy$平面に，曲線

$K:{\displaystyle \frac{{(x-c)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{3y^2}{c^2-a^2}}=1\text{（}0<a<c\text{）}$

がある．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

の表す$1$次変換によって，曲線$K$が図形$K^{\prime }$に移されるとする．このとき，

$K^{\prime }\subset \{(x,y)|x<0,x+y<0\}$

となるように$\theta$の範囲を定めよ．ただし，$0°\leqq \theta <360°$とする．

【２】(ⅰ)　$x\leqq {\log }_2{\displaystyle \frac{x^3-1}{x^3}}\leqq 1$

を満たす$x$の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$xy$平面において，$x$座標が(ⅰ)を満たす点の集合と

$3x\leqq y\leqq x^3+2$

で表される図形との共通部分の面積$A$を求めよ．

【３】　$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とし，直線$L:x=1\text{，}$曲線$C:y=x\log x\text{（}x>0\text{）}$と，$L$上を動く点$\mathrm{P}$を考える．時刻$t\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$のときの$\mathrm{P}$の速度ベクトルは$(0,\sqrt{2}\cos t)$で，$\mathrm{P}$は$t=0$のとき点$(1,0)$にある．直線$\mathrm{OP}$と$C$との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，対数は自然対数とする．

　動点$\mathrm{Q}$の速度ベクトルの$x$成分が最大，最小となる時刻と，そのときの$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

【４】　$1$から$20$までの目が当確率で出る正二十面体のサイコロを考える．このような$N$個のサイコロを同時に投げ，出た目の和が$N+19$になる確率を$P_N$とおく．

(ⅰ)　$P_N$を求めよ．

(ⅱ)　$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{N}}\log P_N$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

【５】　微分可能な関数$f(x)$が，ある定数$a\ne 0$に対して

$f^{\prime }(x)=af(1-x)$

を満たし，$x=0$で最大値$2$をとるとする．

$g(x)={\{f(x)\}}^2+{\{f(1-x)\}}^2$

とおく．

(ⅰ)　$g(x)$は$x$によらない定数であることを示せ．

(ⅱ)　$g(x)$を求めよ．

(ⅲ)　積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^{2}dx$の値を求めよ．