1991　大阪大学　前期MathJax

【１】　直線$y=1$を$l\text{，}$直線$y=kx$を$l^{\prime }$とする．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

によって表される$1$次変換$f$は$l$上の点を$l^{\prime }$上の点に移すものとする．

(1)　$c=ka\text{，}d=kb$が成り立つことを示せ．

(2)　$A^2=(a+kb)A$を示せ．

(3)　$A^2$が零行列でないとき，$f$による$l^{\prime }$の像は$l^{\prime }$であることを示せ．

【２】　$xyz$空間内において，点$(0,0,2)$を中心とする半径$1$の球面を$S_1\text{，}$点$(0,0,-2)$を中心とする半径$1$の球面を$S_2\text{，}$点$(2,0,0)$を中心とする半径$3$の球面を$S_3$とする．

(1)　$S_1\text{，}{S}_2$に外接する球面の中心は$xy$平面上にあることを示せ．

(2)　$S_1\text{，}{S}_2$に外接し，$S_3$に内接する球面の中心の$x$座標を$p\text{，}y$座標を$q$とする．点$(p,q)$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．

【３】　$m$は負でない整数とする．$3$次方程式

$x^3-3m^{2}x+18m=0$

がただ$1$つの整数解をもち，それ以外に実数解をもたないような$m$をすべて求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を正の定数，$n$を$2$以上の自然数とする．$2$つの曲線

$y=a{x}^n\text{（}x\geqq 0\text{）}$

$x=b{y}^n\text{（}y\geqq 0\text{）}$

によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　放物線$y=a{x}^2-bx+b$と直線$y=a^{2}x$を考える．この放物線と直線は$2$交点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をもち，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の$x$座標の差の絶対値は$1$であるという．ただし$a>0$とする．放物線の一部である弧$\mathrm{PQ}$上の点と直線の距離の最大値を$d$とする．

(1)　$d$を$a$を用いて表せ．

(2)　$d$を最大にする$a$と$b$の値を求めよ．

【２】　原点を通らない直線$l:y=px+1$と原点を通る直線$l^{\prime }:y=qx$とがある．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

によって表される$1$次変換$f$は$l$上の点を$l^{\prime }$上の点に移すものとする．$A^2$が零行列でないとき，$f$による$l^{\prime }$の像は$l^{\prime }$であることを示せ．

【３】　座標平面上で半径$r\text{（}0<r<1\text{）}$の円板$D$が，原点を中心とする半径$1$の円に内接しながらすべらずにころがるとき，$D$上の定点$\mathrm{P}$の動きを調べる．ただし$D$の中心は原点のまわりを反時計まわりに進むものとする．はじめに$D$の中心と点$\mathrm{P}$はそれぞれ$(1-r,0)\text{，}(1-r+a,0)$の位置にあるものとする（$0<a\leqq r$）．

(1)　$D$が長さ$\theta$だけころがった位置にきたとき，点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$D$がころがり続けるとき，点$\mathrm{P}$がいつか最初の位置に戻るための$r$に対する条件を求めよ．

(3)　$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，点$\mathrm{P}$の軌跡をもとめ，その概形を図示せよ．

【４】　$f(x)$は$0<x<1$で定義された正の値をとる微分可能な関数で

$\underset{x\to 1}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\infty$

をみたし，さらに曲線$C:y=f(x)$は次の性質をもつという．$C$上に任意の点$\mathrm{P}$をとり，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ直線と$x$軸のなす角を$\theta$とするとき，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸のなす角は$2\theta$である．

　ただし$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲にあるものとする．

(1)　$f(x)$のみたす微分方程式を求めよ．

(2)　$g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{f(x)}}$とおく．$g(x)$のみたす微分方程式を求めよ．

(3)　$f(x)$を求めよ．

【５】　図のような正方形の$4$頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を次の規則で移動する動点$\mathrm{Q}$がある．サイコロを振って$1$の目が出れば反時計まわりに隣の頂点に移動し，$1$以外の目が出れば時計まわりに隣の頂点に移動する．$\mathrm{Q}$は最初$\mathrm{A}$にあるものとし，$n$回移動した後の位置を${\mathrm{Q}}_n\text{，}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}$とする．${\mathrm{Q}}_{2n}=\mathrm{A}$である確率を$a_n$とおく．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．