1991　筑波大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があり，

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+3\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

が成り立っている．直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{BPD}$の面積が$3$のとき，$▵\mathrm{ABP}\text{，}▵\mathrm{BCP}\text{，}▵\mathrm{CAP}$の面積を求めよ．

【２】　等差数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の公差をそれぞれ$d\text{，}rd$とする（$d>0\text{，}0<r<1$）．各項が正である数列$\{c_n\}$とその部分和$s_n={\displaystyle \sum _{j=1}^n}{c}_j$が関係式

$b_n={\displaystyle \frac{1}{s_n}}{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{a}_j{c}_j\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．

(1)　$c_{n+1}={\displaystyle \frac{r{s}_n}{n(1-r)}}$を示せ．

(2)　$r={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき${\displaystyle \frac{c_n}{c_1}}$を求めよ．

【３】　実数$a$に対して

$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x(x+a)|dx$

とおく．$f(a)$の最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

【４】　$x$軸上で原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}(a,0)$までの間を$n$等分したときの分点を順に${\mathrm{P}}_0\text{（}=\mathrm{O}\text{），}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{（}=\mathrm{A}\text{）}$とし，$y$軸上で点$\mathrm{B}(0,b)$から原点$\mathrm{O}$までの間を$n$等分したときの分点を${\mathrm{Q}}_0\text{（}=\mathrm{B}\text{），}{\mathrm{Q}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{Q}}_n\text{（}=\mathrm{O}\text{）}$とする（ただし，$a\text{，}b>0$）．線分${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{Q}}_{k-1}$と${\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k$の交点を${\mathrm{R}}_n$とするとき，折れ線${\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2\cdots {\mathrm{R}}_{n-1}{\mathrm{R}}_n$の長さの$n\to \infty$のときの極限値を定積分で表せ．

【５】　さいころを$n$回投げる．

(1)　出た目の最大公約数が，$6$となる確率，$5$となる確率，$\cdots \text{，}1$となる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$1$回投げるごとにそれまでに出た目の最大公約数を記録する．この数が奇数回目に初めて$1$となる確率$P_n$および$n\to \infty$のときの$P_n$の極限値を求めよ（ただし，$1$つの数の最大公約数はそれ自身とする）．

志望別問題選択一覧

第一学群

　社会学類　【１】〜【３】必須

　自然学類　【１】〜【５】必須

第二学群

　人間学類　代数・幾何，基礎解析選択　【１】〜【３】必須

　人間学類　基礎解析，微分・積分選択　【２】〜【４】必須

　生物学類　【１】〜【５】必須

　農林類　【１】，【２】，【４】必須

第三学群

　社会工学類　【１】〜【４】必須

　国際総合学類　【１】〜【３】必須

　情報学類，基礎工学類　【１】〜【５】必須