1988　大阪大学　A日程MathJax

【１】　$n$は正の整数とする．$n$次式$x^n$を$2$次式$f(x)=x^2-ax+b$で割った余りを$r_{n}x+s_n$とおく．

(1)　すべての正の整数$m\text{，}$$n$について次の式が成り立つことを示せ．

$r_{m+n}=r_m{s}_n+r_n{s}_m+a{r}_m{r}_n\text{，}$$s_{m+n}=s_m{s}_n-b{r}_m{r}_n$

(2)　${(a-x)}^n$を$f(x)$で割った余りを$t_{n}x+u_n$とおくとき，次の式が成り立つことを示せ．

$t_n=ーr_n\text{，}$$u_n=a{r}_n+s_n$

【２】　$y$軸上の正の部分に中心をもち，放物線$y=x^2$と$2$点で接する円の列$O_1\text{，}$$O_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$O_n\text{，}\cdots$を次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすように定める．

(ⅰ)　$O_1$の半径は$1$である．

(ⅱ)　$n\geqq 2$のとき$O_n$は$O_{n-1}$に外接し，$O_n$の中心の$y$座標は$O_{n-1}$の中心の$y$座標より大きい．

　このとき円$O_n$の方程式を求めよ．

【３】　球面$S$が$xy$平面および$yz$平面に接し，しかも同時に球面

${(x-1)}^2+{(y-1)}^2+{(z-1)}^2=1$

に外接するとする．$S$の中心の$x$座標を$p\text{，}$$y$座標を$q$とおく．空間内の範囲

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$z\geqq 0$

に含まれてしまうような$S$をすべて考えるとき，点$(p,q)$の軌跡を求めよ．

【４】　$a$は$1$より大きい実数とする．方程式$\sin ax=\sin x$の$x>0$における最小の解を$\theta$とおく．

(1)　$\theta$を$a$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq x\leqq \theta$の範囲で$2$曲線$y=\sin ax\text{，}$$y=\sin x$によって囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$\underset{a\to \infty }{\lim }(a+1)S(a)$を求めよ．

【５】　$f(x)$は$0<x<4$で定義された微分可能な関数で$f(1)=1\text{，}$かつ$f(x)>0\text{，}$$f^{\prime }(x)<0$をつねに満たし，さらに曲線$C\text{：}y=f(x)$は次の性質をもっているという．$C$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{P}$を通って$l$に垂直な直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，すべての点$\mathrm{P}$について${\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PQ}}}$が成り立つ．

(1)　$f(x)$の満たす微分方程式を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

【１】　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は整数とし，正の整数$n$に対し

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(p{k}^2+2qk+r)$

とおく．

(1)　$m\text{，}$$n$が相異なる正の整数であるとき，${\displaystyle \frac{a_m-a_n}{m-n}}$を求めよ．

(2)　すべての相異なる正の整数$m\text{，}$$n$に対して${\displaystyle \frac{a_m-a_n}{m-n}}$が整数であるならば，$p$は$6$で割り切れることを示せ．

【２】　$x\text{，}$$y$が$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x^3+y^3=1$を満たしながら変わるとき，$x+y$がとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$\theta$は実数とし，方程式

$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right)$

の解を$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$とする，点$\mathrm{P}(a,b)$と直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x-5$との距離が最大，最小となる$\theta$をそれぞれ求めよ．

【４】　曲線$y=x^3$と直線$y=3ax+b$が相異なる$3$点で交わるための定数$a\text{，}$$b$についての条件を求めよ．