1988　名古屋大学　Ａ日程MathJax

【１】　$A\text{，}$$B$は$A^2-2AB+B^2=O$を満たす$2$次の正方行列とする．ただし，$O$は零行列，$A\text{，}$$B$の各成分は実数とする．このとき，次の(1)，(2)を証明し，(3)に答えよ．

(1)　$A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3=O$

(2)　$A=A^{\prime }\text{，}$$B=B^{\prime }$ならば，$A=B$である．ただし，$A^{\prime }$は$A$の行と列とを入れ換えた行列，$B^{\prime }$は$B$の行と列とを入れ換えた行列である．すなわち，$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とするとき，$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$である．

(3)　$A\text{，}$$B$が(2)の条件を満たさないときは，必ずしも$A=B$が成り立たないことを例をあげて示せ．

【２】　$a$を正の定数とする．$xy$平面において，放物線$y=-x^2+px+q$は点$(1,a)$を通り，$y$軸と正または$0$で交わるとする．この放物線と$x$軸の正の部分との交点を$(t,0)$とし，不等式$x\geqq 0\text{，}$$0\leqq y\leqq -x^2+px+q$を満たす部分の面積を$S$とする．

(1)　$t$の動く範囲を$a$を用いて表せ．

(2)　$S$を$a\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$S$を最小にする放物線$y=-x^2+px+q$を$a$を用いて表せ．

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする球面$x^2+y^2+z^2=1$を$C\text{，}$平面$y=1$を$\alpha$とする．$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の定数$a$と点$\mathrm{A}(0,1,0)$に対して，次の条件を満たす球面$C$上の点$\mathrm{P}$全体のなす集合を$M$とする．$\mathrm{\angle AOP}<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であって，平面$\alpha$と点$\mathrm{P}$における$C$の接平面$\beta$とのなす角$\text{（}\alpha$の法線と$\beta$の法線とのなす角）が$a$である．

(1)　$M$はどのような集合であるか，$a$を用いて表せ．

(2)　平面$px+y-z+q-\cos a=0$と$M$とが共有点を持つための$p\text{，}$$q$の満たす条件を求め，点$(p,q)$の存在範囲を図示せよ．

【４a】　多項式$f(x)$は$x>0$の範囲で$f^{″}(x)>0$を満たし，$y=f(x)$のグラフ$C$は原点に関して対称とする．正の数$a$に対して，$C$を$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動して得られる曲線を$C_a$とする．

(1)　$C$と$C_a$とは$2$点$(0,0)\text{，}$$(a,f(a))$のみで交わり，しかも，$0<x<a$の範囲で$f(x-a)>f(x)-f(a)$であることを証明せよ．

(2)　$C$と$C_a$とで囲まれた図形の面積がつねに$a^4$となる$f(x)$をすべて求めよ．

【４b】　$1$から順に$7$まで番号をつけた箱がある．$1$つの球を次の規則に従ってひとつの箱から他の箱に移す試行を繰り返すものとする．球の入っている箱の番号を$a$とし，サイコロを振って出た目の数を$b$とする．$a>b$ならば$a-1$番の箱に移し，$a\leqq b$ならば$a+1$番の箱に移す．最初は$4$番の箱に球が入っている．$2n$回（偶数回）の試行後，球が$4$番の箱に入っている確率を$p_n\text{，}$$2$番の箱に入っている確率を$q_n\text{，}$$6$番の箱に入っている確率を$r_n$とする．

(1)　$p_1\text{，}$$q_1\text{，}$$r_1$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$に対して，$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

【１】　$A\text{，}$$B$は$A^2-2AB+B^2=O$を満たす$2$次の正方行列とする．ただし，$O$は零行列，$A\text{，}$$B$の各成分は実数とする．このとき，次の(1)，(2)を証明せよ．

(1)　$A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3=O$

(2)　$A=A^{\prime }\text{，}$$B=B^{\prime }$ならば，$A=B$である．ただし，$A^{\prime }$は$A$の行と列とを入れ換えた行列，$B^{\prime }$は$B$の行と列とを入れ換えた行列である．すなわち，$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とするとき，$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$である．

【２】　$1$辺の長さ$1\text{，}$$\mathrm{\angle A}=\mathrm{\angle C}=120\mathrm{°}$のひし形$\mathrm{ABCD}$がある．$a\text{，}$$b$を$0<a\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{，}$$0<b\leqq 1$の数とし，ひし形$\mathrm{ABCD}$に含まれる次の$4$つの扇形$P_1\text{，}$$P_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$$P_4$を考える．それらは中心$\mathrm{A}\text{，}$半径$a\text{，}$中心角$120\mathrm{°}$の扇形$P_1\text{，}$中心$C\text{，}$半径$a\text{，}$中心角$120\mathrm{°}$の扇形$P_2\text{，}$中心$\mathrm{B}\text{，}$半径$b\text{，}$中心角$60\mathrm{°}$の扇形$P_3\text{，}$中心$\mathrm{D}\text{，}$半径$b\text{，}$中心角$60\mathrm{°}$の扇形$P_4$である．

　$P_1\cup P_2\cup P_3\cup P_4$がひし形$\mathrm{ABCD}$と一致するもののうち，これら$4$つの扇形の面積の和が最小となる$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【３】　曲線$y=x^3+ax+b$は相異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通り，点$\mathrm{P}$における接線は直線$y=-x$で，点$\mathrm{Q}$における接線は点$\mathrm{Q}$において直線$y=-x$に直交する．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p\text{，}$点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とするとき，$q=-2p$であることを証明せよ．

(2)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．