1988　一橋大学MathJax

【１】　数列$a_1,a_2,a_3,\cdots$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}$$a_2=a_3=2\text{，}$$a_4=a_5=a_6=3，$$\cdots$

(1)　与えられた自然数$n$に対して，$a_i=n$となるような$i$の範囲を求めよ．

(2)　$m$を自然数とするとき，この数列の初項から第$2m^2$項までの総和を求めよ．

【２】　座標平面の$1$次変換$f$による点${\mathrm{E}}_1(1,0)\text{，}$${\mathrm{E}}_2(0,1)$の像をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．また，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の周上を働く点$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\sqrt{10}\text{，}$$\mathrm{OQ}\text{の最小値}=2$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{OQ}$の最大値を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

【３】　放物線$y=x^2$と$ax=y^2+by$が焦点を共有するとき，次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　この$2$つの放物線で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$3$つの辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$が頂点$\mathrm{O}$において互いに直交する四面体$\mathrm{OABC}$をつくり，$6$つの辺の長さをそれぞれ$\mathrm{OA}=p\text{，}$$\mathrm{OB}=q\text{，}$$\mathrm{OC}=r\text{，}$$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とする．

(1)　$abc\geqq 2\sqrt{2}pqr$であることを示せ．

(2)　$b\text{，}$$c$がともに一定値$3\sqrt{3}$をとるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値を求めよ．

【５】　袋の中に白球と赤球がはいっている．この袋の中から無作為に$1$個の球をとり出して，それが白球だったならばそのまま袋の中にもどし，赤球だったならばそれを袋の中にもどした上あらたに$1$つの赤球を袋の中に加える．これを$1$回の操作とかぞえる．はじめに袋の中に白球，赤球がそれぞれ$1$個ずつはいっていたとして，この操作を$n$回くり返したあと，袋の中に$2$個の球，$n+2$個の球，$3$個の球がはいっている確率をそれぞれ$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$とする．$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$を求めよ．