1988　東京工業大学MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を$a_1=1\text{，}$$a_n=1+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{a_{n-1}}^2$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は$\left|x\right|\leqq 1$で$|f(x)|\leqq 1$をみたしている．このとき，$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$について，

(1)　$|f^{\prime }(1)|\leqq 4$を示せ．

(2)　$|f^{\prime }(1)|=4$となる$f(x)$をすべて求めよ．

【３】　$xy$平面上の曲線$y=\cos (\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}x)$と，原点を中心とする半径$r$の円との共有点の個数$N(r)$を求めよ．

【４】　$xy$平面上の原点を中心とする半径$1$の円を$C\text{，}$点$(4,0)$を中心とする半径$2$の円を$D$とする．動点$\mathrm{P}$は点$(1,0)$を出発し円$C$上を時計と反対回りに角速度$2$で動き，動点$\mathrm{Q}$は，同時刻に点$(6,0)$を出発し円$D$上を時計と反対回りに角速度$1$で動くものとする．

　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離の最大値と最小値を求め，最大値と最小値を与える$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ求めよ．

【５】　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{{}_{3n}C_n}{{}_{2n}C_n}}\right)}^{\frac{1}{n}}$を求めよ．