1987　大阪大学MathJax

【１】　$n$は$3$以上の奇数で，自然数の列$a_1,a_2,$$\cdots ,$$a_n$は等比数列であるとする．

　$S={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}$$T={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a_k}^2$とおく．

(1)　整数$T$は整数$S$の倍数であることを示せ．

(2)　$T$が素数となるための初項，公比および項数$n$についての条件を求めよ．

【２】　座標平面上に，点$\mathrm{A}(p\sin \theta ,p\cos \theta )$と直線$l\text{：}x\sin \theta$$+y\cos \theta$$+p=0$が与えられたとき，$\mathrm{A}$までの距離と，$l$までの距離が等しいような点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．ただし，$p>0\text{，}$$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．

(1)　$C$を原点のまわりに$\theta$だけ回転して得られる曲線の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$x$軸とによって囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$p$と$\theta$を用いて表せ．

(3)　$p$と$\theta$が関係$p={\cos }^2\theta$を満たし，$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$S$の最大値を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$f(x)={(x-a)}^2{e}^{-x^2+b}$とおく．

(1)　関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$と，極小値をとる$x$の値$\gamma$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}$$\mathrm{B}(\beta ,f(\beta ))\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma ,f(\gamma ))$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{\angle ACB}$が鋭角となるための$a\text{，}$$b$についての条件を求めよ．

【４】　原点で$zx$平面に接し，$zx$平面に関して点$\mathrm{P}(2,4,0)$と同じ側にある半径$2$の球$S$がある．$S$の中心を$\mathrm{Q}$とし，$yz$平面上の曲線$C\text{：}y=4-{\displaystyle \frac{z^2}{4}}$上に点$\mathrm{R}$をとる．

(1)　$\mathrm{\angle QPR}$の大きさを求めよ．

(2)　点R が曲線$C$上を動くとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線と$S$との共有点は，$xy$平面に垂直なある平面$\alpha$と$S$との交線上を動く．平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(3)　平面$\alpha$によって分けられる球$S$の$2$つの部分のうち，小さいほうの体積を求めよ．

【５】　袋の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．この袋から無作為に$1$個の玉を取り出し，その色を記録して袋に戻す．この試行をくり返し，同じ色の玉が$2$回続けて出るか，または試行の回数が$2N$に達したとき，試行を止める．ただし，$N$は$2$以上の一定の自然数とする．この試行がちょうど$k$回で終わる確率を$P_k$$\text{（}k=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$2N\text{）}$とし，$p={\displaystyle \frac{a}{a+b}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{b}{a+b}}\text{，}$$r=pq$とおく．

(1)　$P_{2l}\text{，}$$P_{2l+1}$$\text{（}l=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{．}$$N-1\text{）}$および$P_{2N}$を$r$を用いて表せ．

(2)　試行の回数の期待値$E={\displaystyle \sum _{k=2}^{2N}}k{P}_k$は，定数$A\text{，}$$B$を用いて，$E=A$$+B(r+r^2$$+\cdots +r^{N-1})$と表されることを示し，$A\text{，}$$B$を求めよ．

(3)　$E<3$を示せ．

【１】　自然数の列$a_1,a_2,a_3,$$a_4,$$a_5$は等比数列であるとし

$S=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$

$S^{\prime }=a_1-a_2+a_3-a_4+a_5$

$T={a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+{a_4}^2+{a_5}^2$

とおく．

(1)　整数$T$は整数$S$で割り切れ，その商は$S^{\prime }$となることを示せ．

(2)　$T$が素数となる場合の$T$の値を求めよ．

【２】　$a>0$とし，行列$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ a& 1\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$f$とする．曲線$C\text{：}y=x^2$が$f$によってうつる図形を$C^{\prime }$とする．

(1)　$C^{\prime }$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$C^{\prime }$で囲まれた部分の面積が$1$となるような$a$の値を求めよ．

【３】　$a>0$とし，$f(x)=\sqrt{a}(x^3ー3x)$とおく．

(1)　関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値$\alpha$と，極小値をとる$x$の値$\beta$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}(\alpha ,f(\alpha ))$および点$\mathrm{B}(\beta ,f(\beta ))$を$2$頂点とする正三角形の重心を$\mathrm{G}$とする．$a$がすべての正の数を動くとき，$\mathrm{G}$の描く図形を図示せよ．

(3)　重心$\mathrm{G}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a$の値を求めよ．

【４】　原点で$zx$平面に接し，$zx$平面に関して点$\mathrm{A}(2,4,0)$と同じ側にある半径$2$の球を$S$とする．球$S$の中心を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{B}(0,-5,6)$を考える．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積および三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線と$S$との共有点の座標を求めよ．