1987　名古屋大学　MathJax

【１】　$c$を正の数とし，$2$曲線$y=c{x}^{\frac{3}{2}}$と$y=\sqrt{x}$の原点でない交点を$\mathrm{P}$とする．それぞれの曲線の$\mathrm{P}$における接線のなす角を$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．$c$が正の数を動くとき，$\theta$はどのような範囲を動くか．

【２】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周の第$1$象限の部分を$C$とする．$C$上を動く点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を考え，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸と曲線$C$とで囲まれたおうぎ形の面積を$S_1(\theta )$とし，点$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線と$y$軸と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を$S_2(\theta )$とする．$S_1(\theta )$と$S_2(\theta )$の小さいほうの値を$S(\theta )$とおく．$\theta =0$または${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときは$S(0)=S\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$とする．このとき，積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}S(\theta )\sin \theta \mathit{d\theta }$を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正方形の頂点を時計まわりに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．硬貨を投げて，表ならば$2\text{，}$裏ならば$1\text{，}$時計まわりに周上を動く運動を考える．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$から出発し，硬貨を$10$回投げたとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の位置に来る確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$君は$\mathrm{A}$から出発し，$\mathrm{Q}$君は$\mathrm{B}$から出発するとし，それぞれ硬貨を$10$回ずつ投げたときに$2$人が同じ位置に来る確率を求めよ．

【４a】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の数とする．$xyz$空間内で点$(0,0,0)\text{，}$$(a,0,0)\text{，}$$(0,b,0)\text{，}$$(0,0,c)\text{，}$$(a,b,0)\text{，}$$(a,0,c)\text{，}$$(0,b,c)\text{，}$$(a,b,c)$を頂点とする直方体を$A$とする．$A$の点$\mathrm{P}$から平面$x+y+z=0$へ垂線を引き，その平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$が$A$を動くとき，$\mathrm{Q}$の動く範囲$B$の面積を求めよ．

【４b】　$\mathrm{O}$を原点とする平面上の点$\mathrm{A}(3,5)$と点$\mathrm{P}(m,n)$$\text{（}m\text{，}$$n$は整数を動く）を考える．ただし$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$は同一直線上にないものとする．

(1)　$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OP}$を$2$辺とする平行四辺形の面積の最小値を求めよ．

(2)　その最小値を与える$\mathrm{P}$は$2$直線上にある．この$2$直線を求めよ．

(3)　その最小値を与える$\mathrm{P}$をすべて求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b$を実数で$b\geqq 0$とする．関数$f(x)=ax-b{x}^2$が次の$2$つの条件を満たすとする．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq 1$に対して$f(x)\geqq 0$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=1$

　このとき，$0\leqq x\leqq 1$において$y=f(x)$と$x$軸の間にある部分を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積$V$はどのような範囲にあるか．

【２】　$xyz$空間内で点$(0,0,0)\text{，}$$(1,0,0)\text{，}$$(0,1,0)\text{，}$$(0,0,1)\text{，}$$(1,1,0)\text{，}$$(1,0,1)\text{，}$$(0,1,1)\text{，}$$(1,1,1)$を頂点とする立方体を$A$とする．$A$の点$\mathrm{P}$から平面$x+y+z=0$へ垂線を引き，その平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$が$A$を動くとき，$\mathrm{Q}$の動く範囲$B$の面積を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正方形の頂点を時計まわりに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．硬貨を投げて，表ならば$2\text{，}$裏ならば$1\text{，}$時計まわりに周上を動く運動を考える．

(1)　$\mathrm{A}$から出発して硬貨を$3$回投げたとき$2^3$通りの動き方があるが，そのうち最後に$\mathrm{A}$にいる場合は何通りあるか．

(2)　$3$回のかわりに$10$回のときは何通りか．