1987　一橋大学MathJax

【１】　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$の$2$つの焦点を$\mathrm{F}\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$とし，だ円上の動点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a>b>0$ である．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PF}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }}$の値の範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PF}\text{，}$$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$の長さの積$\mathrm{PF}\cdot \mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$の値の範囲を求めよ．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(4,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,4)$を頂点とする三角形の辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$がある．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が三角形$\mathrm{OAB}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{4}}$となるように点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の通りうる点の存在範囲を求め，それを図示せよ．

【３】(1)　$3$以上の任意の整数$n$に対して$2^n\geqq 2(n+1)$がなりたつことを証明せよ．

(2)　$3$以上の任意の奇数$n$に対して，方程式$x^n-nx+1=0$には実数解が全部で$3$個あり，それらはすべて$-2$より大きく$2$より小さいことを証明せよ．

【４】　番号$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$のついた札が，袋$\mathrm{A}$にはそれぞれ$1$枚ずつ，袋$\mathrm{B}$にはそれぞれ$2$枚ずつはいっている．ただし，$n\geqq 2$とする．

(1)　袋$\mathrm{A}$から札を$2$枚とり出すとき，その$2$枚の札の番号の和が$n$より大きい確率を求めよ．

(2)　袋$\mathrm{B}$から札を$2$枚とり出すとき，その$2$枚の札の番号の和が$n$より大きい確率を求めよ．

【５】　原点を中心とする半径$r$の球$x^2+y^2+z^2=r^2$が，$2$平面$x+y+z=3\text{，}$$x+y+z=6$と，それぞれ正の整数の半径$a\text{，}$$b$をもつ円で交わっている．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$r$の値を求めよ．

(2)　$2$平面の間にはさまれている球の部分の体積を求めよ．