1987　東京工業大学MathJax

【１】　$1>a>0\text{，}$$b\geqq c>0$とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が$3$実数解$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$をもつならば $-1<\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma <0$となることを証明せよ．

【２】　$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_0(x_0,y_0)$が与えられている．点列${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{2}}& 1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)$

と定める．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$x_n+y_n\text{，}$$x_n-2y_n$をそれぞれ$x_0\text{，}$$y_0$で表せ．

(2)　$(x_0,y_0)\ne (0,0)$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{x_n}^2}{{x_n}^2+{y_n}^2}}$を求めよ．

【３】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を内部または周上に含む半径最小の円を$D$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$が鋭角三角形または直角三角形のとき，$D$は三角形$\mathrm{ABC}$の外接円となることを証明せよ．

(2)　$\mathrm{A}=(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}=(1,0)$とし$\mathrm{C}=(x,y)$は条件$x^2+y^2\leqq 4\text{，}$$y\ne 0$をみたしながら動く．円$D$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と異なるような$\mathrm{C}$の動きうる範囲を図示せよ．

【４】　$a$を正数とし，媒介変数$t$によって表示された曲線

$C\text{：}x=t+e^{at}\text{，}$$y=-t+e^{at}$$\text{（}-\infty <t<\infty \text{）}$

が，$x$軸に接しているとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$2$直線$y=0\text{，}$$y=x$および曲線$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$xy$平面上の点$\mathrm{A}$が原点$(0,0)$から点$(n,n)$$\text{（}n$は$3$以上の自然数）まで次の法則で動くものとする．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$が点$(k,l)$にあるとき，$k<n\text{，}$$l<n$ならば$2$点$(k+1,l)$または$(k,l+1)$のどちらかに確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつで働く．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$が点$(n,l)$$\text{（}l<n\text{）}$にあるときは確率$1$で$(n,l+1)$へ動き，点$(k,n)$$\text{（}k<n\text{）}$にあるときは確率$1$で$(k+1,n)$へ動く．

　点$\mathrm{A}$が点$(k,l)$を通過する確率を$P(k,l)$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$k\text{，}$$l=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$のとき$P(k,l)$を求めよ．

(2)　$P(n,2)$を求めよ．