1987　東北大学MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)$$\text{（}{a}^2+b^2=c^2\text{，}$$b\ne 0\text{）}$に対し，実数$x\text{，}$$y\text{，}$$\theta$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が存在して

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

と表せることを示せ．さらに，このときの$x\text{，}$$y$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で表せ．

【２】　$a\text{，}$$b$を正の整数とする．関数

$f(x)=4x^3-a{x}^2$$+2bx$$-8$

が次の$3$つの条件を同時に満たすような$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

(ⅰ)　$f(1)>0$

(ⅱ)　$f(x)$は極値をもつ．

(ⅲ)　$c_n={\displaystyle {\int }_0^{2^{n-1}}}f(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$で定義される$c_1\text{，}$$c_2\text{，}$$c_3$が等比数列をなす．

【３】　$a$を$0$でない実数とする．$2$つの曲線$y=e^x$および$y=a{x}^2$の両方に接する直線の本数を求めよ．

【４】　$4$枚$1$組のカードが$2$組ある．正しいサイコロを投げて，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の目が出たときは枚数の多い組から，$5\text{，}$$6$の目が出たときは枚数の少ない組からカードを$1$枚除く．ただし，$2$組のカードの枚数が等しいときには，どちらの組から除いてもよい．このような試行を続けて，どちらか一方の組のカードが全部なくなったとに他方の組に残っているカードの枚数を$X$とする．

　確率変数$X$の確率分布と期待値を求めよ．

【５】　$xy$平面との交わりが円${(x+1)}^2+y^2=2$となり，平面$4x$$+2\sqrt{2}y$$-z$$=4$に接する球の方程式を求めよ．

【６】　$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$f_a(x)$を次の式で定義する．

$f_a(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2a-\left|x\right|}{2a^2}}& \text{（}\left|x\right|\leqq 2a\text{）}\\ 0& \text{（}2a<\left|x\right|\leqq \pi \text{）}\end{array}$

極限値$\underset{a\to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{f}_a(x)|\cos ax|\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とする．

(ⅰ)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$は，$xy$平面の原点$\mathrm{O}$を$1$つの頂点とする任意の三角形$\mathrm{OPQ}$をこれと面積の等しい三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$にうつす．$a\text{，}$$b$の満たすべき条件を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の条件のもとで，$f$によって点$(2,-1)$にうつされる点の$x$座標が最大になるときの$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の条件のもとで，点${\mathrm{E}}_1(1,0)\text{，}$${\mathrm{E}}_2(1,1)\text{，}$${\mathrm{E}}_3(0,1)$に対して，正方形$\mathrm{O}{\mathrm{E}}_1{\mathrm{E}}_2{\mathrm{E}}_3$は，$f$によって，どのような図形にうつるか．図示せよ．

【２】　$C$をだ円$x^2+4y^2=5$とする．点$\mathrm{P}(0,2)$を通る直線で，$C$の$2$つの焦点を結ぶ線分と交わり，$C$との$2$つの交点の$x$座標の差の絶対値が$1$となるものをすべて求めよ．

【３】　初項$a_1=r$$\text{（}r$は定数）として，数列$\{a_n\}$を次の式で帰納的に定義する．

$a_{k+1}=r{a}_k-{(r-1)}^{2}k$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【４】　単位円上の点$(a,b)$$\text{（}{a}^2+b^2=1\text{）}$から，放物線$y=x^2$へ異なる$2$本の接線がひけるとき，この$2$本の接線と$y=x^2$で囲まれた図形の面積を最大にしたい．このような点$(a,b)$を求めよ．