1986　九州大学MathJax

【１】　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を空間内の単位ベクトルとし，任意の単位ベクトル$\overrightarrow{d}$に対して，${(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d})}^2+{(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d})}^2+{(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d})}^2$が一定の値$k$をとるとする．ただし，$\overrightarrow{s}\cdot \overrightarrow{t}$はベクトル$\overrightarrow{s}\text{，}$$\overrightarrow{t}$の内積を表す．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$k$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$のとき，${(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p})}^2+{(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p})}^2+{(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{p})}^2$の値を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1\mathrm{cm}$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AD}$上をそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が毎秒$1\mathrm{cm}\text{，}$$2\mathrm{cm}\text{，}$$4\mathrm{cm}$の速さで往復している．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は同時に点$\mathrm{A}$を出発したとして，$t$秒後の点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$について，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AQ}}=\overline{\mathrm{AR}}$となるときの$t$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$において，${\overline{\mathrm{PQ}}}^2+{\overline{\mathrm{QR}}}^2+{\overline{\mathrm{RP}}}^2$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$a$は$9<a<10$を満たす実数とする．数列$\{a_n\}$を

$a_1=a\text{，}$$a_{n+1}=\left|a_n\right|-1$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定め，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$S_n$を$n$と$a$で表せ．

(2)　$S_n=0$が成り立つ$n$が存在するような$a$の最大値を求めよ．

【４】　座標空間において，$x$が$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}(x,0,{\cos }^{2}x)\text{，}$$\mathrm{Q}(x,1-\sin x,0)$を結ぶ直線$\mathrm{PQ}$が動いてできる曲面を$S$とする．このとき，$S$と$3$つの座標平面で囲まれる立体の体積を求めよ．

【５】　袋の中に赤球$2$個と白球$3$個が入っている．この袋から無作為に球を$1$個取り出し，取り出した球が赤球なら$+1\text{，}$白球なら$-1$と記録してから，球を袋に戻す．この試行を$n$回$\text{（}n\geqq 3\text{）}$くり返して得られる数列に対して，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　和が$1$である確率$P_n$を求めよ，

(2)　符号の変化が$2$回以上起こる確率$Q_n$を求めよ．

【６】　関数$f(x)$は微分可能で，$x>0$のとき$f(x)>0$である．曲線$y=f(x)$上の任意の点$\mathrm{P}(x,f(x))$$\text{（}x>0\text{）}$から$x$軸，$y$軸へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．区間$[0,x]$上でこの曲線と$x$軸とではさまれた部分の面積は，長方形$\mathrm{OQPR}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{n}}$とする．ただし，$n$は自然数である．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$f(x)$は$x>0$で微分方程式$(n-1)f(x)$$=x{f}^{\prime }(x)$を満たすことを示せ．

(2)　曲線$y=f(x)$が点$(1,2)$を通るとき，$x>0$の範囲で$f(x)$を求めよ．

【１】　図のように，直線$l$と半径$a\text{，}$$b$$\text{（}0<a<b\text{）}$の$2$個の円$C_1\text{，}$$C_2$が互いに接している．$l$と$C_1\text{，}$$C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．このとき次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a\text{，}$$b$で表せ．

(2)　$C_1\text{，}$$C_2$と異なり，$l$と$C_1\text{，}$$C_2$に同時に接する$2$個の円の半径の積を$a\text{，}$$b$で表せ．

【２】　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を空間内の単位ベクトルとし，任意の単位ベクトル$\overrightarrow{d}$に対して，${(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d})}^2+{(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d})}^2+{(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d})}^2$が一定の値$k$をとるとする．ただし，$\overrightarrow{s}\cdot \overrightarrow{t}$はベクトル$\overrightarrow{s}\text{，}$$\overrightarrow{t}$の内積を表す．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$k$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$は互いに直交することを示せ．

【４】　点$(1,0)$を中心とする半径$1$の円と放物線$2kx=y^2$$\text{（}k>0\text{）}$が原点以外の点で交わるとする．この円と$2$つの放物線$2kx=y^2\text{，}$$kx=y^2$で囲まれる図形を$S$とする．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$S$を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積$V$を$k$で表せ．

(2)　$V$が最大となる$k$の値を求めよ．

【５】　袋の中に赤球$2$個と白球$3$個が入っている．この袋から無作為に球を$1$個取り出し，取り出した球が赤球なら$+1\text{，}$白球なら$-1$と記録してから，球を袋に戻す．この試行を$n$回$\text{（}n\geqq 3\text{）}$くり返して得られる数列に対して，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　符号の変化が$1$回だけ起こる確率$P_n$を求めよ．

(2)　符号の変化が$2$回以上起こる確率$Q_n$を求めよ．