1986　大阪大学MathJax

【１】(1)　${\log }_{3}4$は無理数であることを証明せよ．

(2)　$a\text{，}$$b$は無理数で，$a^b$が有理数であるような数の組$a\text{，}$$b$を求めよ．

【２】　$xy$平面内の曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}$$x>0$上の相異なる$2$点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})\text{，}$$\mathrm{Q}(b,{\displaystyle \frac{1}{b}})$（ただし，$0<a<b\text{）}$に対し，$\mathrm{R}(b,{\displaystyle \frac{1}{a}})$とおく．

　いま，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が，$\mathrm{▵PQR}$と$\mathrm{▵OPQ}$の面積の比が一定値$k\text{，}$すなわち${\displaystyle \frac{\mathrm{▵PQR}}{\mathrm{▵OPQ}}}=k$であるように曲線$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線の交点$\mathrm{S}$の軌跡を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

【３】　正の数${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2\text{，}$${\theta }_3\text{，}$${\theta }_4\text{，}$${\theta }_5$が${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3$$+{\theta }_4$$+{\theta }_5=2\pi$を満たしながら変わるとき

$\sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_3$$+\sin {\theta }_4+\sin {\theta }_5$

の最大値を，次の手順で求めよ．

(1)　$\alpha <2\pi$を満たす正の数$\alpha$を決める．${\theta }_1+{\theta }_2=\alpha$のとき，$\sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2$の最大値を求めよ．

(2)　$\beta <2\pi$を満たす正の数$\beta$を決める．${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3+{\theta }_4=\beta$のとき，$\sin {\theta }_1$$+\sin {\theta }_2$$+\sin {\theta }_3$$+\sin {\theta }_4$の最大値を${\theta }_5$で表せ．

(3)　$\sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2$$+\sin {\theta }_3$$+\sin {\theta }_4$$+\sin {\theta }_5$の最大値を求めよ．

【４】　$xyz$空間内に定点$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,1,0)$がある．いま点$\mathrm{P}$が$yz$平面上の半円$x=0\text{，}$$y^{\mathrm{２}}+z^2=2\text{，}$$y\leqq 0$の上を動くとき，$\mathrm{▵PAB}$の周および内部の点の全体でつくられる立体$K$を考える．

(1)　平面$x=t$による$K$の切り口はどのような図形か．

(2)　$K$の体積を求めよ．

【５】　袋$\mathrm{A}$には$1$から$n$までの番号のついた$n$枚のカードが入っており，袋$\mathrm{B}$には$1$から$m$までの番号のついた$m$枚のカードが入っている．ただし，$m>n$とする．

　$n$人の人が$1$回目に袋$\mathrm{A}$から無作為にカードを$1$枚ずつ取り，$2$回目に袋$\mathrm{B}$から無作為にカードを$1$枚ずつ取る．ただし，取り出したカードはもとに戻さないものとする．

(1)　すべての人について$2$回目のカードの番号のほうが$1$回目のカードの番号より大きいという事象の確率$P_{n,m}$を求めよ．

(2)　$m=2n$のときの$P_{n,2n}$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log P_{n,2n}$を求めよ．

【１】　$f(x)$は$x$の$3$次以上の整式であるとする．$f(x)$を${(x-1)}^3$で割れば余りは$a{x}^2+bx+c$であり，$x-2$で割れば余りは$d$であるという．$f(x)$を$(x-1)(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．

【２】　数列$x_1,x_2,\cdots$を次のように定義する．

$x_1=2\text{，}$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{{x_n}^2+5}{2x_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，$0<x_n-\sqrt{5}<{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を示せ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& a\end{array}\right)\text{，}$$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$がある．$A+B\text{，}$$A-B$がいずれも逆行列をもたないとすれば，$A$は回転を表す行列であることを示せ．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とする．

【４】　曲線$C\text{：}y=\sqrt{x}$と直線$l\text{：}y=a(x-1)-1$（ただし，$a>0\text{）}$があり，$C$と$l$の交点を$\mathrm{A}$とする．

　$C$と$l$と$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_1$とし，$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と$l$および$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．$V_1=V_2$となる$a$を求めよ．