1986　名古屋大学　MathJax

【１】(1)　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{(y-2)}^2=1$を行列$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\end{array}\right)$によって変換して得られる曲線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で得られた曲線上の点$\mathrm{P}$に対して，原点$\mathrm{O}$から出て$\mathrm{P}$を通る半直線上に$\overline{\mathrm{OP}}\cdot \overline{\mathrm{OQ}}=8$を満たすように点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{P}$がこの曲線上を動くときに$\mathrm{Q}$が描く曲線の方程式を求めよ．ただし，$\overline{\mathrm{OP}}$は線分$\mathrm{OP}$の長さを表す．

【２】　放物線$y=x^2$上を$2$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}$$\mathrm{Q}(q,q^2)$$\text{（}p<q\text{）}$が一定の距離$l$$\text{（}\overline{\mathrm{PQ}}=l\text{）}$を保ちながら動く．線分$\mathrm{PQ}$とこの放物線とで囲まれた図形の面積を$S(p)$とするとき，極限値$\underset{p\to +\infty }{\lim }{p}^{3}S(p)$を求めよ．

【３】　$xyz$空間内の点$(0,a,0)$$\text{（}a>0\text{）}$を通り$z$軸に平行な直線を$l$とする．$3$点$(1,1,0)\text{，}$$(1,0,1)\text{，}$$(1,-1,0)$を頂点とする三角形の板を，$l$を軸として$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【４a】　$f(x)$は$x\geqq 0$で連続な増加関数で，$f(0)=0\text{，}$かつ$x>0$で微分可能とする．グラフ$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(x,y)$$\text{（}x>0\text{）}$から$x$軸，$y$軸に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$y=f(x)$と線分$\mathrm{PQ}$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を$F(x)\text{，}$$y=f(x)$と線分$\mathrm{PR}$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を$G(x)$とする．すべての$x>0$で，$G(x)=(x+1)F(x)$が成立するような$f(x)$を求めよ．

【４b】　$n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots$に対して，$Z_n=(X_n,Y_n)$は整数を座標とする点の上を動くとし，$Z_n$から$Z_{n+1}$への移動は，毎回，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の番号札の入っている箱から$1$つをとり，$1$ならば上へ，$2$ならば下に，$3$ならば左へ，$4$ならば右へ，$1$の長さを動くとする．原点から出発する．

(1)　$S=\sqrt{{X_3}^2+{Y_3}^2}$とするとき，確率変数$S$の期待値$E(S)$を求めよ．

(2)　$T_n={X_n}^2+{Y_n}^2$とするとき，確率変数$T_n$の期待値$E(T_n)$が$n$であることを示せ．

【１】　自然数$n$に対して${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& c_n\\ b_n& d_n\end{array}\right)$とおくとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$a_n=d_n\text{，}$$b_n=c_n$を示せ．

(2)　$a_n$を求めよ．

【２】　$0<x<1$として，不等式${\log }_x(3x^2-10x+7)\geqq 2$を考える．この不等式を満たすすべての$x$$\text{（}0<x<1\text{）}$に対して，$x^2-2ax\geqq 1$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

【３】　$xyz$空間内の点$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を通り$z$軸に平行な直線を$l$とする．$3$点$(1,1,0)\text{，}$$(1,0,1)\text{，}$$(1,0,0)$を頂点とする三角形の板を，$l$を軸として$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．