1986　東北大学MathJax

【１】　空間における基本ベクトル

$\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)\text{，}$$\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)\text{，}$$\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)$

を使って，$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}\text{，}$$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_3}$

と定める．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}$のなす角をそれぞれ求めよ．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$に直交し，ベクトル$\overrightarrow{a}$との内積が$1$であるようなペクトルを$\overrightarrow{p}$とする．$\overrightarrow{p}$を基本ベクトル$\overrightarrow{e_1}\text{，}$$\overrightarrow{e_2}\text{，}$$\overrightarrow{e_3}$で表せ．

【２】　数直線上の$2$つの動点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$は時刻$0$のとき原点にあり，時刻$t$における，それぞれの速度$v_1(t)\text{，}$$v_2(t)$は

$v_1(t)=4t^2-6at-a^2\text{，}$$v_2(t)=t^2+6at-10a^2$

である．ただし，$a$は実数とする．

(1)　時刻$t$における$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$の間の距離$f(t)$を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq 3$における$f(t)$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた最大値を最も小さくする$a$の値を求めよ．

【３】(1)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& a\end{array}\right)$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$について，$A^3=A$が成立するように$a\text{，}$$b$を定めよ．

(2)　(1)の$a\text{，}$$b$に対して，$1$次変換$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=ax+by\\ y^{\prime }=x+ay\end{array}$を考える．この$1$次変換による円$x^2+y^2=1$の像を図示せよ．

【４】　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$を$x$軸のまわりに回転してできる回転体を考える．この回転体から，取り除く部分の体積を最小にして，$x$軸と直交する$2$つの面をもつ直方体をつくりたい．取り除く部分の体積はいくらか．

【５】　関数$f(x)=(4x^3+a{x}^2+bx+c)e^{2x}$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が$x=-1\text{，}$$x=0\text{，}$$x=1$で極値をもつように定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を(1)で定めたものとして，曲線$y=f(x)$と，$3$つの直線$x=-1\text{，}$$x=1\text{，}$$y=0$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【６】　$3$種類の品物$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$を$3$個，$\mathrm{B}$を$2$個，$\mathrm{C}$を$1$個任意に選んで$1$つにまとめて$1$個の商品とする．次の問に答えよ．

(1)$\text{「}\mathrm{A}$には，$\mathrm{A}$全体の${\displaystyle \frac{1}{16}}$の不良品が含まれ，$\mathrm{B}$には，$\mathrm{B}$全体の${\displaystyle \frac{1}{9}}\text{，}$$\mathrm{C}$には，$\mathrm{C}$全体の${\displaystyle \frac{1}{25}}$の不良品が含まれている．」という仮説のもとで，全商品の中から，無作為に$1$個の商品を取り出したとき，それが完全な商品である確率を求めよ．ここで，完全な商品とは不良品が含まれていない商品のことである．

(2)　商品$960$個を無作為に抽出したところ，完全な商品は$640$個であった．このことから，(1)の仮説は正しいと判断してよいかどうかを，有意水準（危険率）$5\mathrm{\%}$で検定（両側検定）せよ．必要ならば，付表を用いてもよい．

【２】　数列$\{a_n\}$を次の式で帰納的に定義する．

$a_1=3\text{，}$$a_{k+1}=4a_k+3$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　次の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{{\log }_2(a_k+1){\log }_2(a_{k+1}+1)}}$

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ a& b\end{array}\right)$について，$A^3=A$が成り立つように$a\text{，}$$b$を定めよ．

【４】　$a$は実数とし，$f(x)=a{(x-1)}^2(x+1)+x$とする．$a$の関数$F(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f^{\prime }(x)\}}^3\mathit{dx}$の極小値を求めよ．