1981　共通一次試験　追試験MathJax

【１】　$x$についての整式$a{x}^3+a^2{x}^2+3bx-11a$を$P(x)$とする．

(ⅰ)　$P(x)$を$x-1$で割った余りは

$a^2-\boxed{\text{アイ}}a+\boxed{\text{ウ}}b$

である．また，$P(x)$を$x-1$で割った商をさらに$x-1$で割ったときの余りを$R$で表すとき

$R=\boxed{\text{エ}}{a}^2+\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}}b$

である．

(ⅱ)　$a\text{，}$$b$がともに正の整数で，$P(x)$が$x-1$で割り切れるような$a\text{，}$$b$の組は$\boxed{\text{キ}}$通りある．そのうちで$R$が最大になるのは

$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ケ}}$

のときであり，$R$が最小になるのは

$a=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{サ}}$

のときである．

【２】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とし

$\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=7:5\text{，}$$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}=5:3$

とする．

　$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とし，$\angle \mathrm{B}\text{，}$$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$B\text{，}$$C$とすれば

(ⅰ)　

$\cos B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\cdot \frac{c}{a}}\text{，}$$\cos C={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\cdot \frac{b}{a}}$

(ⅱ)　

${\displaystyle \frac{2}{a}=\frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{b}=\frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{c}}$

(ⅲ)　$a=4$ならば，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\sqrt{\boxed{\text{キク}}}$である．

【３】

(1)　$\overrightarrow{a}=(4,3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(3,2)$とするとき，$\overrightarrow{e_1}=(1,0)$および$\overrightarrow{e_2}=(0,1)$は

• $\overrightarrow{e_1}=\boxed{\text{アイ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{e_2}=\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{a}-\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{b}$

と表される．

【３】

(2)　点$\mathrm{O}$を中心とする円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において

$\angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\angle \mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{5}{12}}\pi \text{，}$$\angle \mathrm{BDC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

ならば

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．

【４】　平面上に何本かの直線が与えられると，いくつかの三角形ができる．たとえば，どの$2$直線も平行でなく，どの$3$直線も$1$点で交わらないような$4$直線が与えられれば，三角形は$4$個できる．

(1)　与えられた直線が$10$本で，どの$2$本も平行でないとする．

(ⅰ)　どの$3$本も同じ点では交わらないとき，$\boxed{\text{アイウ}}$個の三角形ができる．

(ⅱ)　ちょうど$3$本が$1$点で交わる点が$1$か所あり，ほかには$3$本以上交わる点がないとき，$\boxed{\text{エオカ}}$個の三角形ができる．

(ⅲ)　ちょうど$3$本が$1$点で交わる点が$2$か所あり，ほかには$3$本以上交わる点がないとき，$\boxed{\text{キクケ}}$個の三角形ができる．

(2)　与えられた直線が$10$本で，そのうち平行な$2$本の直線が一組あり，ほかには平行な直線の組がないとする．どの$3$本も同じ点で交わらないとき，$\boxed{\text{コサシ}}$個の三角形ができる．

【５】　文中の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{キ}}$のそれぞれに入れるのに適当な語句を，次の$\overline{)\text{1}}\text{〜}\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{1}}$　必要条件でもなく，十分条件でもない
• $\overline{)\text{2}}$　必要条件であるが，十分条件ではない
• $\overline{)\text{3}}$　必要条件ではないが，十分条件である
• $\overline{)\text{4}}$　必要条件でもあり，十分条件でもある

(1)　実数$x\text{，}y\text{，}z$について

$x(x-2)=y(y-2)=z(z-2)=0$

であるためには

(ⅰ)　$xyz(x-2)(y-2)(z-2)=0$であることは$\boxed{\text{ア}}$．

(ⅱ)　$x^2{y}^2{z}^2+{(x-2)}^2{(y-2)}^2{(z-2)}^2=0$であることは$\boxed{\text{イ}}$．

(ⅲ)　$x^2{(x-2)}^2+y^2{(y-2)}^2+z^2{(z-2)}^2=0$であることは$\boxed{\text{ウ}}$．

(2)　実数$x\text{，}y$について，$x>1$かつ$y>1$であるためには$x+y>2$かつ$xy>1$であることは$\boxed{\text{エ}}$．

(3)　実数$x$について，$x^2-8x+15\geqq 0$であるためには$x^2-3x+1\leqq 0$であることは$\boxed{\text{オ}}$．

(4)　実数$x$について，$x^2-2x-8\leqq 0$であるためには$|x-3|+|x+1|\leqq 6$であることは$\boxed{\text{カ}}$．

(5)　平面上に点$\mathrm{P}$と三角形$\mathrm{ABC}$があるとき，$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AC}$上にあるためには$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$であることは$\boxed{\text{キ}}$．