1976　東京大学　1次試験MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．放物線$y=x^2$と円${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=a^2$とは点$(1,1)$を通り，この点において共通の接線をもつとする．そのとき，次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

$a=\boxed{}-2\sqrt{\boxed{}}\text{，}b=\sqrt{\boxed{}}-\boxed{}>0$　　　

【２】　$4$角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{12}{5}}\text{，}\mathrm{DA}={\displaystyle \frac{7}{10}}\text{，}\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{5}{2}}$である．対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{O}$とするとき，次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

$\mathrm{OA}=\boxed{}\text{，}\mathrm{OB}=\boxed{}\text{，}\mathrm{OC}=\boxed{}\text{，}\mathrm{OD}=\boxed{}$

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　大，中，小$3$つのさいころを同時に投げて，出た目をそれぞれ$x\text{，}y\text{，}z$とする．

(1)　$x\text{，}y\text{，}z$が直角$3$角形の$3$辺の長さになる確率は$\boxed{}$である．

(2)　$x\text{，}y\text{，}z$が$2$等辺$3$角形の$3$辺の長さになる確率は$\boxed{}$である．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{x}}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{y}}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{z}}$が直角$3$角形の$3$頂角の大きさになる確率は$\boxed{}$である．

(4)　${\displaystyle \frac{\pi }{x}}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{y}}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{z}}$が$2$等辺$3$角形の$3$頂角の大きさになる確率は$\boxed{}$である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　行列$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$があるとき，$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$とおいて，点$(x,y)$を点$(x^{\prime },y^{\prime })$にうつす平面の$1$次変換が定まる．いま，$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．行列$A^2-A$および行列$3A^{-1}$が定める変換により点$\mathrm{P}(1,1)$はそれぞれ点$\mathrm{Q}(\boxed{},0)$および点$\mathrm{R}(\boxed{},\boxed{})$にうつる．またベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$のなす角を$\alpha \pi \text{（}0<\alpha <1\text{）}$とするとき$\alpha =\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　空間における動点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}=(3,0,0)$と点$\mathrm{B}=(3,5,5)$を両端とする線分上を動き，動点$\mathrm{Q}$は原点を中心とし$xy$平面内にある半径$10$の円周上を動く．この条件のもとで，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小になるのは$\mathrm{P}=(3,\boxed{},\boxed{})\text{，}\mathrm{Q}=(\boxed{},\boxed{},0)$のときである．

【２】　さいころを$3$回投げて，出た目を順次に$a\text{，}b\text{，}c$とする．この$a\text{，}b\text{，}c$を用いて行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -1& c\end{array}\right)$を定め，$\overrightarrow{u}=A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{v}=A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$とおくとき，次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

(1)　$|\overrightarrow{u}|>5$となる確率は$\boxed{}$である．

(2)　$|\overrightarrow{v}|=5$となる確率は$\boxed{}$である．

(3)　$|\overrightarrow{v}|>5$となる確率は$\boxed{}$である．

(4)　$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$とが垂直となる確率は$\boxed{}$である．

【３】　$x$の関数$f(x)=a{(x^2+2x+4)}^2+3a(x^2+2x+4)+b$は最小値$37$をもち，$f(-2)=57$であるという．次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

$a=\boxed{}\text{，}b=\boxed{}\text{；}f(\boxed{})=37\text{，}f(1)=\boxed{}$

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$xy$平面において，任意の点を原点のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ正の向きに回転し，次に$x$軸方向に$4\text{，}y$軸方向に$-\sqrt{3}$だけ平行移動する変換$F$は，点$(\boxed{},\sqrt{\boxed{}})$のまわりのある回転と一致する．また合成写像$F\circ F$は，任意の点を原点のまわりに${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$だけ正の向きに回転し，次に$x$軸方向に$\boxed{}\text{，}y$軸方向に$\sqrt{\boxed{}}$だけ平行移動する変換である．