1976　北海道大学MathJax

【１】　$x\text{，}y$についての条件$\mathrm{A}$を次のように定める．

$\mathrm{A}:y>-x^2+(a-2)x+a-4\text{かつ}y<x^2-(a-4)x+3$

ただし，$x\text{，}y\text{，}a$は実数とする．

(1)　「どんな$x$に対しても，それぞれ適当な$y$をとれば$\mathrm{A}$が成り立つ」ための$a$の範囲を求めよ．

(2)　「適当な$y$をとれば，どんな$x$に対しても$\mathrm{A}$が成り立つ」ための$a$の範囲を求めよ．

【２】　相異なる$6$個の整数からなる集合$\mathrm{S}=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\}$がある．

(1)　$\mathrm{S}$の空集合でない部分集合の個数を求めよ．

(2)　$3$個の要素からなる$\mathrm{S}$のすべての部分集合を考える．このとき，各部分集合の$3$個の要素の和を$T$として，すべての$T$の和を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はそれぞれ$\mathrm{S}$の$2$個の要素からなる部分集合で，$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}=\phi$（$\phi$は空集合）であり，$\mathrm{A}$の要素の最小数は$\mathrm{B}$の要素の最小数より小さい．このような集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の組は何個あるか．

【３】　$x\text{，}y\text{，}z$は実数とする．

(1)　$|x|<1\text{，}|y|<1$であるとき，$|x+y|<xy+1$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$|x|<1\text{，}|y|<1$とするとき，$xyz+x+y+z=0$を満たす$z$について$|z|$の存在範囲を求めよ．

【４】　$3$角形$\mathrm{ABC}$があって，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{3}\text{，}\angle \mathrm{BAC}=30°$である．

(1)　$3$角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．

(2)　$3$角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表わすとき，$x\text{，}y$の値を求めよ．

【５】　集合$M$が写像$h$の定義域に含まれるとき，集合$\{h(x)|x\in M\}$ を$h(M)$で表わす．

　$f(x)=x^2\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{(3-2a)x-(a+2)}{x+1}}$とし，$A=\{x|x\geqq -2\text{かつ}x\ne -1\}$とする．ただし，$a<5\text{．}$

(1)　$g(A)$を$\{y|p(y)\}$の形で表わしたときの$y$の条件$p(y)$を求めよ．

(2)　$g(f(A))\cap f(A)=\phi$（$\phi$は空集合）となる$a$の範囲を求めよ．

【３】　ベクトルはすべて原点を始点とするベクトルとする．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(s,t)\text{，}\overrightarrow{b}=(u,v)$のなす角を$\theta$とし，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を$2$辺とする$3$角形の面積を$S$とする．$\sin \theta \text{，}S$を$s\text{，}t\text{，}u\text{，}v$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{e_1}=(1,0)\text{，}\overrightarrow{e_2}=(0,1)$とする．

$\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}\text{，}\overrightarrow{a_{2n}}=\overrightarrow{a_{2n-1}}+2n\overrightarrow{e_2}\text{，}$

$\overrightarrow{a_{2n+1}}=\overrightarrow{a_{2n}}+(2n+1)\overrightarrow{e_1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されるベクトルの列がある．$\overrightarrow{a_{2n}}$を$\overrightarrow{e_1}\text{，}\overrightarrow{e_2}$で表せ．

(3)　$\overrightarrow{a_{2n-1}}\text{，}\overrightarrow{a_{2n}}$を$2$辺とする$3$角形の面積を$S_n\text{，}\overrightarrow{a_{2n}}\text{，}\overrightarrow{a_{2n+1}}$を$2$辺とする$3$角形の面積を$T_n$で表わすとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{T_n}}$を求めよ．

【４】　$-\pi \leqq x\leqq \pi$のとき，無限級数

${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{3}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{6}x+\cdots +{\sin }^{2}x{\cos }^{3(n-1)}x+\cdots$

の和を$f(x)$とする．

(1)　この無限級数の和を求めよ．

(2)　$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．

【５】　微分方程式${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{y^2-1}{2}}$について，次の問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　この微分方程式を解け．

(2)　$x=0$のとき$y=0$となる解を求め，それを$0$から$\log 2$まで積分せよ．

(3)　$x\to \log 2+0$のとき$y\to -\infty$となる解を求め，$x>\log 2$の範囲でそのグラフをかけ．

【６】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$とする．

(1)　$A^2=A$であるとき，$a\text{，}c$を用いないで$A$を表せ．

(2)　$E$を単位行列とする．$A^2=A$であるとき，$A-tE$が逆行列をもたないような$t$の値を求めよ．