1974　京都大学　文系・理系MathJax

【１】　$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数，$a\ne 0$）のグラフが$3$点$(1,3)\text{，}$$(2,6)\text{，}$$(-1,9)$を通るという．この関数$y$の値が最小になるのは，$x$がどの値のときか．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さがそれぞれ$2\mathrm{cm}\text{，}$$5\mathrm{cm}$であって，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$4{\mathrm{cm}}^2$である．$\mathrm{\angle ABC}=\theta$とおくとき，$|\cos \theta |$を求めよ．

【３】　${(x^3+\sqrt{2}{x}^2+\sqrt[3]{3}x+1)}^{100}$を展開したときの，$x^{296}$の係数を求めよ．

【４】　$F(x)\text{，}$$g(x)$が$x$の多項式で，次の$3$条件を満たすものとする．$F(x)$および$g(x)$を求めよ．

(イ)　${\displaystyle \frac{dF(x)}{\mathit{dx}}}=g(x)$

(ロ)　$F(x)$は$g(x)$で割り切れる．

(ハ)　$g(x)$は$n$次式で，$x^n$の係数は$1\text{，}$$x^{n-1}$の係数は$0$である．

【５】　正の定数$a\text{，}$$b$に対し，不等式

$4m<n^2<4m+{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{m}}}+{\displaystyle \frac{b}{m}}$

を考え，次の問に答えよ．

(1)　$m>0\text{，}$かつ$m\text{，}$$n$ともに整数であって，この不等式をみたすような$m\text{，}$$n$の組は有限個しか存在しないことを証明せよ．

(2)　$a=8\text{，}$$b=9\text{，}$$m\geqq 9$であるときは，上の不等式をみたす整数$m\text{，}$$n$の組は

$n^2=4m+1$

を満たすことを証明せよ．

(3)　(2)の場合の$m\text{，}$$n$の組のうち，$n$が最も大きいものを求めよ．

【６】(1)　$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$が与えられている．辺${\mathrm{P}}_0\mathrm{O}$上に点${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{2n}\text{，}$$\cdots$を，また辺${\mathrm{P}}_1\mathrm{O}$上に点${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_5\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{2n+1}\text{，}$$\cdots$を適当にとって，次の$3$条件(イ)〜(ハ)が満たされるようにしうるための，$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$についての条件を求めよ．

(イ)　${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{2n}\text{，}$$\cdots$はこの順に線分${\mathrm{P}}_0\mathrm{O}$上にならび，しかも$n$が大きくなるに従って，$\mathrm{O}$に近づく．

(ロ)　${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_5\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{2n+1}\text{，}$$\cdots$はこの順に線分${\mathrm{P}}_1\mathrm{O}$上に並んでいる．

(ハ)　$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}\backsim \mathrm{▵}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{P}}_{n+2}$が，$n$のどの自然数値に対しても成立する．（ここでいう相似は，左辺の$3$角形の${\mathrm{P}}_{n-1}\text{，}$${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{P}}_{n+1}$が右辺の$3$角形の${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{P}}_{n+1}\text{，}$${\mathrm{P}}_{n+2}$に順次対応した相似を意味する．）

(2)　上のように点がとれたとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を第$n$項$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とする数列は

(イ)　いつでも等比数列である

(ロ)　等比数列になる場合もあり，等比数列にならない場合もある

(ハ)　けっして等比数列にならない

のどれが正しいか，理由を付して答えよ．

【１】　$0\leqq \alpha <\beta <\gamma <2\pi$であって

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =0\text{，}$$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =0$

であるという．$\beta -\alpha$と$\gamma -\beta$の値を求めよ．

【２】　内部の形が半径$10\mathrm{cm}$の半球形の容器（へりの大円が上部，水平におかれている）に水がいっぱい入っている．ここから水をくみ出すのに，水面の下がる速さを$v\mathrm{cm}/\text{秒}$（一定）にしたい（もちろん，からになる時点までの範囲に限定する）．

(1)　$t$秒間にくみ出す水の量はどれだけか．ただし

$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{10}{v}}$

(2)　$t$秒後において水をくみ出す速さはどれだけか，単位は${\mathrm{cm}}^3/\text{秒}$で求めよ．ただし

$0<t<{\displaystyle \frac{10}{v}}$

【３】　底の断面の形が曲線$y=x^4-6p^2{x}^2-8q^{3}x$$\text{（}p>0\text{，}$$q\geqq 0\text{）}$の形の容器がある．（$y$軸は鉛直，正の方向を上方にとり，$x$軸は水平にとる．）最初$q=0$のときは，大体右図の形になっているので，図の点$\mathrm{A}$の位置に小球をおく．ここで，$p$は固定したまま，$q$の値をだんだん大きくしていって，ある値を越えたら，この小球は右側のくぼみに転落した．この値を$p$を用いて表わせ．