1955　東京大学　2次試験MathJax

【１】　任意の実数$x\text{，}$$y$に対して，不等式

$x^2+4xy+4y^2$$+10x+ay+b>0$

がつねに成り立つために定数$a\text{，}$$b$の満足すべき条件を求めよ．

【２】　二つの二次方程式

$x^2+x\cos \theta +\sin \theta =0\text{，}$

$x^2+x\sin \theta +\cos \theta =0$

が少くとも一つの実根を共有するとき，$\theta$の値を求めよ．ただし$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$とする．

【３】　図のように長方形$\mathrm{ABCD}$の中にたがいに外接する二円$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{O}}^{\prime }$があって，円$\mathrm{O}$は$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$に接し，円${\mathrm{O}}^{\prime }$は$\mathrm{AD}$と$\mathrm{DC}$に接する．

　このとき二円の面積の和を円$\mathrm{O}$の半径$x$の函数$f(x)$と考えてそのグラフをえがきその函数の最大値と最小値を求めよ．

　ただし$\mathrm{AB}=8a\text{，}$$\mathrm{BC}=9a$とする．

注意．$f(x)$のグラフをえがくのには，右図のような座標軸を答案用紙に写しとって用いよ．

【１】　次の函数のグラフをえがけ．

(ⅰ)　$y=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^{n+1}+x^{-n-1}}{x^n+x^{-n}}}\text{，}$ただし$x\ne 0$とする．

【１】　次の函数のグラフをえがけ．

(ⅱ)　$y=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\pi x+n{\sin }^2\pi x}}$

【２】　直交座標に関し，四点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1)$を頂点とする正方形がある．$x>0\text{，}$$y>0\text{，}$$xy=2$となるように二点$\mathrm{P}$$(x,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,y)$をとるとき，$\mathrm{▵OPQ}$と正方形$\mathrm{OABC}$との共通部分の面積の最大値を求めよ．

【３】　右の図のようにとった直交軸に関し，直線$y=x$より上，曲線$y=x^3$より下，直線$x=a$より左にある平面の部分の面積を求め，それを$a$の函数と考えてそのグラフをえがけ．

【１】　任意の三角形$\mathrm{ABC}$の外側に，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$をそれぞれ一辺とする平行四辺形$\mathrm{ABDE}\text{，}$$\mathrm{ACFG}$を任意に作り，直線$\mathrm{DE}\text{，}$$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．

　次に$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を一辺として平行四辺形$\mathrm{BCKL}$を

$\mathrm{CK}⫽\mathrm{HA}\text{，}$$\mathrm{CK}=\mathrm{HA}$

となるように作れば

$\mathrm{▱ABDE}+\mathrm{▱ACFG}=\mathrm{▱BCKL}$

となることを証明せよ．

【２】　定直線$l$とこれに接する定円$\mathrm{O}$とがある．この円の任意の直径の両端を通り定直線$l$に接する円の中心の軌跡を求めよ．またその図をえがけ．

【３】　空間にある正三角形を一つの平面上に正射影したとき，三辺の長さがそれぞれ$2\text{，}$$3\text{，}$$2\sqrt{3}$であるような三角形がえられた．もとの正三角形の一辺の長さはいくらか．

【１】　ある人が$A$円を預金しその後一年目ごとに${\displaystyle \frac{A}{10}}$円ずつ引き出すとする．利息は年$8\mathrm{\%}$の利率で，一年ごとの複利で計算するとすれば，何回引き出したときにはじめて残りが${\displaystyle \frac{A}{10}}$円未満となるか．ただし${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　右の図のような投影図をもち，平面で囲まれた立体の体積を求めよ．

　ただし四角形$\mathrm{ABCD}$は長方形である．

【３】　$10$個の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$9$のどれかをとる変数$\alpha$と$\beta$とがある．$x=3.\alpha \text{，}$$y=2.\beta$とし，これらを四捨五入して得られる整数をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．$x+y$と$a+b$との差の絶対値が$0.5$より小さくなる確率を求めよ．

　ただし$\alpha$と$\beta$とは互に独立で，どの数字をとる確率もすべて等しいとする．