1955　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$$に適当な数を記入せよ．

　二次函数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフが三点$(-{\displaystyle \frac{3}{2}},0)\text{，}$$(-3,0)\text{，}$$(1,20)$を通るならば

$a=\text{(1)}\text{，}$$b=\text{(2)}\text{，}$$c=\text{(3)}$

である．

　従ってグラフが三点$(-{\displaystyle \frac{3}{2}},-3)\text{，}$$(-3,-3)\text{，}$$(1,17)$を通る二次函数は

$y=\text{(4)}{x}^2+\text{(5)}x+\text{(6)}$

である．

【２】　次の$$の中に適当な数を記入せよ．

　方程式$x^2+y^2-6x+8y=0$が表わす曲線は円でその中心の$x$座標は$\text{(7)}\text{，}$$y$座標は$\text{(8)}\text{，}$半径の長さは$\text{(9)}\text{，}$この円が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とするとき線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\text{(10)}\text{，}$この円の周上の動点から直線$4x+3y=30$までの距離の最小値は$\text{(11)}$である．

【３】　$a>b$なる任意の正数$a\text{，}$$b$に対して，次の各不等式が

常に成り立つならば$\mathrm{A}\text{，}$

常に成り立たないならば$\mathrm{B}\text{，}$

成り立つときもあり，成り立たないときもあるならば$\mathrm{C}\text{，}$

とそれぞれ答案用紙の所定の欄（省略）に記入せよ．

【４】　次の$$に適当な数を記入せよ．

　$2^{45}$は$\text{(15)}$桁の数である．

　${\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{15}$を小数で表わせば，小数第$\text{(16)}$位に初めて$0$でない数字が現われる．

　${(\cos 45\mathrm{°})}^{25}$を小数で表わせば，小数第$\text{(17)}$位に初めて$0$でない数字が現われる．但し，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【５】

$\sin (90\mathrm{°}+\theta )=\text{(18)}\theta$

$\cos (\theta -90\mathrm{°})=\text{(19)}\theta$

$\tan (180\mathrm{°}-\theta )=\text{(20)}\theta$

　上の$$にはそれぞれ下記のもののうちのどれを入れればよいか．

【１】　四角形に関する四組の条件が下に書いてある．右側の条件が，対応する左側の条件の

必要十分条件ならば$\mathrm{A}\text{，}$

必要条件であるが十分条件ではないならば$\mathrm{B}\text{，}$

十分条件ではあるが必要条件ではないならば$\mathrm{C}\text{，}$

必要条件でも十分条件でもないならば$\mathrm{D}\text{，}$

とそれぞれ答案用紙の所定の欄（省略）に記入せよ．

【２】　右の図の四辺形$\mathrm{PQRS}$は等脚台形で$\mathrm{PS}=3\text{，}$$\mathrm{PQ}=5\text{，}$$\mathrm{\angle PSQ}=90\mathrm{°}$である．

(5)　$\mathrm{RS}$の長さ

(6)　この台形の面積

(7)　$\mathrm{PS}\text{，}$$\mathrm{QR}$の延長の交点を$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{ST}$の長さ

(8)　$\mathrm{▵TSR}$の面積

はそれぞれ次に書かれた数のどれに等しいか，またどれにほぼ等しいか．

【３】　一平面上において，$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$を二つの定点，$\mathrm{P}$をこの平面上の動点，$k$を与えられた正の定数とするとき，

(9)　$\mathrm{PM}+\mathrm{PN}=k$を満足する点$\mathrm{P}$の軌跡（但し$\mathrm{MN}<k\text{）}$

(10)　${\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{PN}}^2=k^2$を満足する点$\mathrm{P}$の軌跡（但し$MN<\sqrt{2}k\text{）}$

(11)　$\mathrm{PM}\sim \mathrm{PN}=k$を満足する点$\mathrm{P}$の軌跡（但し$k<\mathrm{MN}\text{）}$

(12)　${\displaystyle \frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PN}}}=k$を満足する点$\mathrm{P}$の軌跡（但し$k\ne 1\text{）}$

はそれぞれ次にあげたどの図形か．

【１】　次の$$に適当な数を記入せよ．

　整式$a{x}^3+b{x}^2+cx+d$を$x^2-1$で割ると$6x+2$余り，$x^2+1$で割ると$2x+8$余るならば，

$a=\text{(1)}\text{，}$$b=\text{(2)}\text{，}$$c=\text{(3)}\text{，}$$d=\text{(4)}$

である．

【２】　次の$$に適当な数を記入せよ．

　座標面上に三点$\mathrm{P}$$(3,4)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(2,24)\text{，}$$\mathrm{R}$$(14,8)$が与えられている．線分$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{PR}$を二辺とする平行四辺形の第四の頂点を$\mathrm{S}$とすれば，$\mathrm{S}$の$x$座標は$\text{(5)}\text{，}$$y$座標は$\text{(6)}\text{，}$対角線の交点の$x$座標は$\text{(7)}\text{，}$$y$座標は$\text{(8)}\text{，}$対角線$\mathrm{PS}$の長さは$\text{(9)}\text{，}$この平行四辺形$\mathrm{PRSQ}$の面積は$\text{(10)}$である．

【３】　不等式

$\text{(11)}<\text{(12)}<\text{(13)}$$<\text{(14)}<\text{(15)}$

が成り立つように，次の各数値をならべるとき，$$の中にはそれぞれどれを入れればよいか．

【４】　次の$\mathrm{A}$図から$\mathrm{E}$図までの五つの図はいずれも次の二次函数のどれかのグラフである．

(ⅰ)　$y=-a{x}^2-bx-c$

(ⅱ)　$y=a{x}^2-bx+c$

(ⅲ)　$y=-a{x}^2+bx+c$

(ⅳ)　$y=a{x}^2+bx-c$

(ⅴ)　$y=c{x}^2+bx+a$

　二次函数

$y=a{x}^2+bx+c$

のグラフが右の図のようになるとして次の$$をみたせ．

(ⅰ)のグラフは$\text{(16)}$図，

(ⅱ)のグラフは$\text{(17)}$図，

(ⅲ)のグラフは$\text{(18)}$図，

(ⅳ)のグラフは$\text{(19)}$図，

(ⅴ)のグラフは$\text{(20)}$図である．

【１】　下の欄に書かれた右側の条件が対応する左側の条件の

必要十分条件ならば$\mathrm{A}$

必要条件ではあるが十分条件ではないならば$\mathrm{B}$

十分条件であるが必要条件ではないなら$\mathrm{C}$

必要条件でも十分条件でもないならば$\mathrm{D}$

とそれぞれ答案用紙の所定の欄（省略）に記入せよ．

【３】　右の図のように円$\mathrm{O}$の直径$\mathrm{PQ}$の$\mathrm{Q}$をこえた延長上に$\mathrm{PQ}$に等しく$\mathrm{QR}$をとり，$\mathrm{R}$から円$\mathrm{O}$に一つの接線をひきその接点を$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{PQ}=1$とすれば

はそれぞれ次のどれであるか．

【４】　直交する二定直線$a\text{，}$$b$が決定する平面上で

(17)　$a\text{，}$$b$までの距離の二乗の差が正の一定値であるような点の軌跡

(18)　$a\text{，}$$b$までの距離の二乗の和が正の一定値であるような点の軌跡

(19)　$a\text{，}$$b$までの距離の和が正の一定値であるような点の軌跡

(20)　$a\text{，}$$b$までの距離の積が正の一定値であるような点の軌跡

はそれぞれ次にあげたどの図形か．