1951　東京大学　全学部MathJax

1951-10261-0101

1951　東京大学　全学部

解析I

易□　並□　難□

【１】　方程式 $| x^{2} - 1 | + x + k = 0$ の実根の箇数は実数 $k$ の値によつてどのようにかわるか．

1951-10261-0102

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解析I

易□　並□　難□

【２】　 $f = x^{2} - x y - 6 ，$ $g = x^{2} - y^{2} - 1$ とする．

(1)　 $f = g = 0$ を満足する $x ，$ $y$ の値を求めよ．

(2)　 $f < 0 ，$ $g < 0$ を満足する $x ，$ $y$ を座標とする点の存在する範囲を図示せよ．

(3)　また $f g < 0$ を満足する $x ，$ $y$ を座標とする点の存在する範囲を図示せよ．

1951-10261-0103

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文科　解析I

易□　並□　難□

【３】　山の高さを知るために，同じ水平面上に二地点 $A ，$ $B$ をとり，山の頂点 $C$ からこの水平面に下した垂線の足を $D$ として， $AB = a ，$ $∠CAB = α ，$ $∠ABC = β ，$ $∠CAD = γ$ を測った．このとき

三角函数表

	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$37 °$	$.6018$	$.7986$	$.7536$
$38 °$	$.6157$	$.7880$	$.7813$
$39 °$	$.6293$	$.7771$	$.8098$

(1)　山の高さ $CD = h$ を求める式を作れ．

(2)　 $a = 1000 m ，$ $α = 75 ° ，$ $β = 53 ° ，$ $γ = 39 °$ のとき，次の数表を用いて $h$ を求めよ．

対数表

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$6.2$	$.7924$	$.7931$	$.7938$	$.7945$	$.7952$	$.7959$	$.7966$	$.7973$	$.7980$	$.7987$
$6.3$	$.7993$	$.8000$	$.8007$	$.8014$	$.8021$	$.8028$	$.8035$	$.8041$	$.8048$	$.8055$
$7.8$	$.8921$	$.8927$	$.8932$	$.8938$	$.8943$	$.8949$	$.8954$	$.8960$	$.8965$	$.8971$
$7.9$	$.8976$	$.8982$	$.8987$	$.8993$	$.8998$	$.9004$	$.9009$	$.9015$	$.9020$	$.9025$

1951-10261-0104

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文科　解析II

易□　並□　難□

【１】　一定の体積 $V$ なる直円柱の全表面積のうちで最小なものの値を求めよ．

1951-10261-0105

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理科　解析II

易□　並□　難□

【２】　半径 $a$ の固定した円に糸を巻きつけておき，その端を円周上の一点 $A$ から，糸がたるまないように，その円の平面内でほぐして行くとき，その端の画く曲線の弧 $AP$ の長さをほぐれた糸 $QP$ の長さ $l$ で表わせ．

1951-10261-0106

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理科　解析II

易□　並□　難□

【３】　二つの曲線

$x^{2} + y^{2} = 4 \sqrt{3} p y ，$ $y^{2} = p x$

に囲まれる面積を求めよ．但し $p > 0$ とする．

1951-10261-0107

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理科　幾何

易□　並□　難□

【１】　正方形 $ABCD$ の辺 $CB ，$ $CD$ 上にそれぞれ点 $E ，$ $F$ をとり， $CE = CF$ ならしめ， $E$ から $AF$ に垂線を下し，その足を $G$ とする． $E$ を辺 $BC$ 上に動かすとき $G$ はどんな線の上を動くか．

1951-10261-0108

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理科　幾何

易□　並□　難□

【２】　放物線の焦点を通る弦を直径とする円はその放物線の準線に接することを証明せよ．

1951-10261-0109

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理科　幾何

易□　並□　難□

【３】　図のような立方体 $ABCD A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ において辺 $AB ，$ $B B^{'} ，$ $B^{'} C^{'} ，$ $C^{'} D^{'} ，$ $D^{'} D ，$ $DA$ の中点をそれぞれ $L ，$ $M ，$ $N ，$ $P ，$ $Q ，$ $R$ とするとき，六角形 $LMNPQR$ は正六角形であることを証明せよ．

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理科　一般数学

易□　並□　難□

【１】　或る会社の製品は $50$ 箇に $1$ 箇の割合で不良品が出るという．この製品三箇を一箱に包装して売出すものとする．その際包装の不良なものが $100$ 箱に $1$ 箱の割合であるとすれば， $1$ 万箱の中に内容または包装が不良なものが何箇位できるか．

1951-10261-0111

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理科　一般数学

易□　並□　難□

【２】　 $12$ 時間のうちに時計の長針と短針が直角になる時刻はどのように分布しているか．

1951-10261-0112

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理科　一般数学

易□　並□　難□

【３】　甲は $1$ 万円を年利率 $7 % ，$ 半年ごとの複利で利殖し，乙は $10$ 万円を年利率 $3 % ，$ 一年ごとの複利で利殖するとすれば，甲の元利合計は何時初めて乙の元利合計を越えるか．

(1)　 $\log 1.03 = 0.0128 ，$ $\log 1.035 = 0.0149$ を使って計算せよ．

(2)　この対数の最後の桁は四捨五入したものであることに注意し，その誤差を考えればどの程度のことが云えるか．

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