1951　北海道大学MathJax

【１】　$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D\text{，}$$E$は$1$から$5$までの整数のいずれかに等しく，異なる記号が同一の数に等しいことはないものとする．

　次の三つの関係式の中の適当な二つから$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D\text{，}$$E$の値を唯一通りに決定せよ．（二つからでは決定出来ない者は三つとも使用してもよい．）

(イ)　$A>B>C\text{，}$(ロ)　$D=B+C\text{，}$(ハ)　$D=A+E\text{．}$

【２】　角$\mathrm{C}$が直角なる三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{AC}$の長さをそれぞれ$2a\text{，}$$b-{\displaystyle \frac{a^2}{b}}$（但し$b>a>0\text{）}$とする．斜辺$\mathrm{AB}$の長さを，$a\text{，}$$b$を用いて簡単にあらわせ．

　次に${\displaystyle \frac{a}{b}}=p$とおくとき，$\cos A$を$p$のみであらわせ．

【３】　ある$100$点満点の試験において問題が$3$題あり，甲は問題１が$4$割，問題２が$6$割，問題３が$5$割出来て$50$点，乙は問題１が$6$割，問題２が$4$割，問題３が$7$割出来て$56$点であつた．

　問題１．問題２，問題３に対する配点はそれぞれ何点であるか．

【４】　昭和$14$年度の種々の収入階級における総支出金額と飲食物費を調べて次の表を得た（單位円）．

　総支出を横座標$\text{（}x\text{），}$飲食物費を縱座標$\text{（}y\text{）}$として右の表を図上に点で表せ．

　また次の五つの$1$次式の中から，これらの$x$と$y$との関係が最もよくあてはまるものを一つだけ選び，そのグラフをえがけ．（直線$x=0$及び$x=100$と交わる点を図上に明示せよ．）

【５】　方程式${\displaystyle \frac{x^2}{100}}+{\displaystyle \frac{{(y+3)}^2}{25}}=1$のグラフについて次の順序に従って調べよ．（$$内に適当に書入れよ．）

　先ず此の方程式を$y$に関して解くと，$y=\text{(イ)}\text{．}$

　此の式から以下のことが分る．

　グラフ上には$\text{(ロ)}$なる範囲の$x$を横座標とする点は一般に$2$点あり，此の$2$点の縦座標$y$ついては$\text{(ハ)}$という性質があるから，グラフは直線$y=-3$に関して対称である．また同じ$x$の範囲に於て$\text{(ニ)}$という性質があるから，グラフは$y$軸に関しても対称である．

　グラフの$x$軸の上方にある部分のみを考えると，$x=0$のとき$y$は最$\text{(ホ)}$で$\text{(ヘ)}$に等しく，$x$の絶対値が増加するにつれて$y$は次第に$\text{(ト)}$し，$x=\text{(チ)}$のとき$0$となる．

　$x$の絶対値が$\text{(リ)}$を越すとそれに対応する$y$は$\text{（ヌ）}$となるから，$x$のその範囲にはグラフは存在しない．

【６】　直線$y=x\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}$の交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$直線$y=x\tan {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{8}}$との交点を${\mathrm{P}}_2\text{，}$直線$y=x\tan {\displaystyle \frac{\pi }{16}}$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{16}}$との交点を${\mathrm{P}}_3$とするとき，${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$の大体の位置を図上に示せ．

　一般に直線$y=x\tan {\displaystyle \frac{\pi }{2^{n+1}}}$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}}$との交点を${\mathrm{P}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とするとき，${\mathrm{P}}_n$の座標を求めよ．また番号$n$が限りなく増加するとき${\mathrm{P}}_n$が近づく点の座標を求めよ．

【７】　長さがそれぞれ正数$l\text{，}$$m$に等しい二つの線分及び大きさが正数$\theta$に等しい角が興えられたとする．

$\mathrm{AB}=l\text{，}$$\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=m\text{，}$$\mathrm{\angle A}=\theta$

なる三角形$\mathrm{ABC}$の作図が可能であつたと仮定すると，$m$は二辺の長さの和，$l$は他の一辺の長さであるから$l$と$m$との間には$\text{(イ)}$なる関係がなければならない．また$\theta$は一つの内角の大きさであるから$\text{(ロ)}$でなければならない．

　次に正数$l\text{，}$$m\text{，}$$\theta$で如何なる関係を満足すれば上述の三角形$\mathrm{ABC}$の作図が可能であるか．また解はいくつあるか．

　共通は必須.解析I,解析II,幾何のうちから２科目選択．