1934　第二高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle \frac{1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{5})}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}+2\sqrt{7}+3}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{7}+3)}}$

【２】　点$\mathrm{P}$と二定点$\mathrm{A}$及び$\mathrm{B}$とを結ぶ線分$\mathrm{PA}$及び$\mathrm{PB}$の和が與へられたる一定の長さに等しくなるやうに点$\mathrm{P}$を定め，$\mathrm{PA}$を直径とする円を画けばこの円は他の定円に切することを証明せよ．

【３】　$x$に関する二次の整式あり．この式の値は$x$が$1$ならば$12\text{，}x$が$3$ならば$16\text{，}$また$x$が$6$なるときに$7$となる．この二次整式の値を零ならしむる$x$の値を見出せ．

【４】　四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の上にそれぞれ四点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$をとり

${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{BC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{DH}}{\mathrm{DA}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

ならしむるとき四辺形$\mathrm{EFGH}$と四辺形$\mathrm{ABCD}$との面積の比を求めよ．

【１】　$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1$なるとき$x^2+y^2$の値をもとめよ．

【２】　一昼夜に$8$分進む時計を或日の正午に正しき時刻に合はせおきたりとすればこの時計が翌日午後$9$時$11$分を示すときの正しき時刻を問ふ．

【３】　$x\text{，}y$が共に実数で次の方程式を満足するならば$x\text{，}y$の値如何．

$5x^2-12xy+10y^2-6x-4y+13=0$

【４】　無限等比級数がある．その和を$A\text{，}$各項の平方の和を$B\text{，}$また各項の立方の和を$C$とすれば$A\text{，}B\text{，}C$の間に如何なる関係があるか．これを見出せ．

【５】　一辺の長さ$a$なる正方形$\mathrm{ABCD}$に於て辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{E}$をとり${\displaystyle \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CD}}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ならしむ．このとき線分$\mathrm{BE}$と対角線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とすれば線分$\mathrm{EF}$の長さ如何．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$に於て三辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の和$s\text{，}$二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の延長と辺$\mathrm{BC}$とに切する傍切円の半径$r\text{，}$頂点$\mathrm{A}$より対辺$\mathrm{BC}$に下せる垂線の長さ$h$が與へられたるときこの三角形を作図せよ．